Mittlere Änderungsrate von h(t)

02.12.2015, 15:41

Mathe6enSchreiber

Mittlere Änderungsrate von h(t)

Meine Frage:
Hallo wir haben eine Hausaufgabe auf.
In dieser sollen wir die Steighöhe eines Ballons errechnen mit der Funktion

$\begin{eqnarray*} h(t)=-2t²+16t \end{eqnarray*}$

Nun Lautet die genaue Aufgabe:

Wie groß ist die momentane Steiggeschwindigkeit in 24km Höhe? Berechne zuerst die Zeit t für 24km Aufstieg.

Meine Ideen:
Wir haben sowas noch nie gemacht. Ich muss doch jetzt die Mittlere Geschwindigkeit im Intervall 0-24 ausrechnen, oder ?

02.12.2015, 15:49

Steffen Bühler

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RE: Mittlere Änderungsrate von h(t)
Nein, Du sollst die momentane Steiggeschwindigkeit in 24km Höhe ausrechnen, das ist was anderes. Und zwar die Ableitung h'(t) zum entsprechenden Zeitpunkt.

Viele Grüße
Steffen

02.12.2015, 15:56

Mathe6enSchreiber

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Da steht ja noch, dass ich zuerst die Zeit t für 24 km Aufstieg berechnen muss.

Also die Zeit, die der Ballon braucht um von 0 auf 24 km zu kommen. Ist das also die Lokae Änderungsrate ?

02.12.2015, 16:03

Steffen Bühler

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Nein, das ist die Zeit, die der Ballon braucht, um von 0 auf 24 km zu kommen. Welchen Wert hat dann h(t)?

02.12.2015, 16:06

Mathe6enSchreiber

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Müsste doch den Wert 24 haben oder?

Nur wie berechne ich die Zeit?

02.12.2015, 16:11

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Mathe6enSchreiber
Müsste doch den Wert 24 haben oder?

Das weiß ich nicht. Es gibt leider keine Angabe, ob die Höhe h in Metern, Kilometern, Lichtjahren oder Yards herauskommt. Ebensowenig, ob die Zeit t in Sekunden, Stunden oder Jahrzehnten anzugeben ist. Solange das nicht bekannt ist, können wir keine Zahlen einsetzen.

Zitat:

Original von Mathe6enSchreiber
Nur wie berechne ich die Zeit?

Wenn h(t) den Wert 24 hätte (nehmen wir das mal an), dann ist doch h(t)=-2t²+16t=24 der Zusammenhang zur Zeit t. Wie bekommt man nun t raus?

02.12.2015, 16:22

Mathe6enSchreiber

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Okay das habe ich vergessen tut mir Leid.

Höhe = KM und Zeit = Stunden

Müsste ich dann nicht Umformen?

$\begin{eqnarray*} -2t²+16t=24 | : 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2t²+t=1.5 | : (-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t²+t=-0,75 \end{eqnarray*}$

Dann weiß ich aber nicht Weiter. Wenn ich jetzt die Wurzel ziehe, hätte ich ja $\begin{eqnarray*} t-\sqrt{t}=\sqrt{0,75} \end{eqnarray*}$

02.12.2015, 16:24

Steffen Bühler

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Wenn Du eine Gleichung durch irgendwas teilst, musst Du bitte alle einzelnen Summanden links und rechts dadurch teilen! Schön demokratisch.

Im übrigen handelt es sich hier um eine quadratische Gleichung. Wie löst Du die üblicherweise?

02.12.2015, 16:30

Mathe6enSchreiber

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Jetzt blick ich garnicht mehr durch.

Also ich würde jetzt -24 Rechnen und dann die PQ-Formel anwenden.

Doch was bringen mir die Nullstellen? Ich will doch wissen wie lange der Ballon braucht um 24km Höhe zu erreichen und nicht wann er wieder Landet...

02.12.2015, 16:38

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Mathe6enSchreiber
Also ich würde jetzt -24 Rechnen und dann die PQ-Formel anwenden.

Richtig. Für die pq-Formel musst Du allerdings noch die -2 vorm t² loswerden, also alles vorher durch -2 teilen.

Zitat:

Original von Mathe6enSchreiber
Doch was bringen mir die Nullstellen?

Netterweise sind die Lösungen der Funktion -2t²+16t=24 dieselben wie -2t²+16t-24=0.

So wie ja auch bei 2x=2 und 2x-2=0 dasselbe x rauskommt.

02.12.2015, 16:59

Mathe6enSchreiber

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$\begin{eqnarray*} frac{32}{2} \pm \sqrt{(\frac{32}{2})²-48} \end{eqnarray*}$

Dann wäre die Zeit t1 = 30,42 und t2 = 1,57

Verstehe ich immer noch nicht so ganz. Was mache ich nun mit diesen beiden Werten? Was bringen mir diese?

02.12.2015, 17:01

Mathe6enSchreiber

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$\begin{eqnarray*} \frac{32}{2} \pm \sqrt{(\frac{32}{2})²-48} \end{eqnarray*}$

sorry habe \ vergessen

02.12.2015, 17:05

Steffen Bühler

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Die 32 und die 48 zeigen mir, dass Du offenbar nicht durch -2 dividiert hast, sondern damit multipliziert. Das musst Du erst einmal korrigieren.

Nun, Du bekommst dann zwei Zeiten heraus, bei der der Ballon laut Formel auf 24km Höhe ist. Schau Dir den Graphen jetzt mal an:

Welche Zeit nehmen wir?

02.12.2015, 17:30

Mathe6enSchreiber

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Habe es korrigiert. Kommen 2 und 6 Raus.

Wir nehmen die 2, da der Ballon ja bei erstmal aufsteigt.

Und 2 ist dann t. Und dann haben wir das Intervall 0;2 und können nun die Formel für die Lokale Änderungsrate nehmen oder? Aber eigentlich müssen wir die Geschwindigkeit ausrechnen. Also die Formel für die Momentangeschwindigkeit? Formel sieht eig. recht einfach aus. Genauso wie die für die Lokale Änderungsrate, aber statt f(x) und f einfach s(t) und t genommen. Ist die Formel also die Selbe?

02.12.2015, 17:34

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Mathe6enSchreiber
Wir nehmen die 2, da der Ballon ja bei erstmal aufsteigt.

Prima, so ist es.

Zitat:

Original von Mathe6enSchreiber
Und dann haben wir das Intervall 0;2 und können nun die Formel für die Lokale Änderungsrate nehmen oder?

Ja, und das ist, wie Du richtig bemerkt hast, dieselbe Formel wie für die Momentangeschwindigkeit.

Denn die Änderung der Höhe pro Zeit ist ja nicht anderes als die Geschwindigkeit.

Nur hat das Intervall [0;2] nichts mit der Rechnung zu tun! Du musst jetzt die Ableitung bilden und t=2 einsetzen, dann bekommst Du die Lösung.

02.12.2015, 17:42

Mathe6enSchreiber

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Aber wenn ich s(t) = 2 einsetze, dann kommt da doch 24 raus

und wenn ich s(t0) einsetze kommt doch 0 raus oder?

Und t-t0 wäre doch 2-0 oder? Also 24/2 und dementsprechend wäre das Ergebnis 12 oder?

02.12.2015, 18:59

Steffen Bühler

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Das ist aber die mittlere Änderungsrate, also die mittlere Geschwindigkeit bit zu diesem Zeitpunkt! Die stimmt zwar, wenn der Ballon 24km in 2 Stunden schafft, sind das 12km/h.

Gefragt ist aber eben die Momentangeschwindigkeit, also wie schnell der Ballon exakt zu dem Zeitpunkt ist! Also was der Tacho anzeigen würde, wenn er einen hätte.

Schau Dir die Kurve noch mal an. Zuerst geht die doch recht steil nach oben. Nach einer halben Stunde sind schon 10km geschafft. Da ist er offenbar noch schnell gewesen.

Dann wird die Kurve flacher, weil der Ballon langsamer wird. In der zweiten halben Stunde kommen nur noch 5km dazu, so dass der Ballon nach einer Stunde auf 15km ist. Siehst Du das?

Und nun wird die Kurve flacher und flacher. Die jeweilige Steigung wird kleiner und kleiner. Und die Steigung, also die erste Ableitung, ist genau die Geschwindigkeit, hier in km/h, weil die Achsen so bemaßt sind.

Nun sag mir die Ballongeschwindigkeit nach zwei Stunden.

02.12.2015, 19:34

Mathe6enSchreiber

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Tut mir Leid aber so ganz verstehe ich das nicht. Ich habe doch die Formel für die Momentangeschwindigkeit benutzt. Und den Graphen habe ich im Buch ja auch nicht.

Oder ist die Formel Falsch, oder habe ich Falsch gerechnet?

02.12.2015, 19:49

Steffen Bühler

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Nein, Du hast die Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit benutzt!

Und den Graphen brauchst Du nur, wenn Du noch nicht ableiten kannst, dann müsstest Du ihn allerdings zeichnen, um mit einem angelegten Lineal die Steigung im betreffenden Punkt zu bestimmen.

Hast Du denn schon mal eine Funktion abgeleitet? Das lernt man in der Oberstufe. Ich hätte es bei dieser Aufgabenstellung erwartet.

02.12.2015, 19:57

Mathe6enSchreiber

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Also wir haben die Formeln im Buch und haben einfach eingesetzt. Wie man jetzt Ableiten soll weiß ich allerdings nicht. Ich habe auch die Formel genommen, die bei uns im Buch bei "Momentangeschwindigkeit" steht. Deshalb fragte ich ja auch. Wir haben dann die Formel und berechnen das ganze dann entweder mit der H Methode oder Umformung.

02.12.2015, 20:10

Steffen Bühler

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Die h-Methode ist ein gutes Stichwort. Die brauchst Du, um die Formel für die Momentangeschwindigkeit herzuleiten. Das können wir gerne zusammen tun.

Oder was für eine Formel steht im Buch?

02.12.2015, 21:12

Mathe6enSchreiber

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Ich weiß nicht genau was ich da jetzt einsetzen soll.

Ist t0 = 2 oder t=2?

02.12.2015, 21:21

Steffen Bühler

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Du meinst bei $\begin{align*} \frac {f(x+h)-f(x)}h \end{align*}$ ?

Setz für f(x) zunächst mal das bekannte h(x) ein, also $\begin{align*} f(x)=-2x^2+16x \end{align*}$ .

Dann vereinfache.

02.12.2015, 21:26

Mathe6enSchreiber

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Aber was ist f bzw h? t=2 und f=?

02.12.2015, 21:27

Steffen Bühler

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Ok. Schreib mal auf, wie Du die h-Methode gelernt hast. Dann machen wir damit weiter.

02.12.2015, 21:36

Mathe6enSchreiber

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zb

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x² x=3<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3) = lim h->0 \frac{2*(3+h)²-2*3²}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3) = lim h->0 \frac{2*(9+6h+h²)-2*9}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{18+12h+2h²-18}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{12}{h} + \frac{2h²}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lim h->0 12 + lim h->0 2h<br /> <br /> 12+0 = 12 \end{eqnarray*}$

02.12.2015, 21:42

Steffen Bühler

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Gut. Bei dieser Aufgabe ist dann, wie gesagt,

$\begin{align*} f(x)=-2x^2+16x \end{align*}$

und

$\begin{align*} x=2 \end{align*}$

Und jetzt stur einsetzen.

02.12.2015, 21:50

Mathe6enSchreiber

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Ich habe absolut kein Idee wie ich das einsetzen soll.

Ich habe das ja schon bei der Bsp Aufgabe garnicht verstanden.

Das x² viel ja einfach weg. Und jetzt ist ja noch +16t da.

Wäre das dann irgendwas wie:

$\begin{eqnarray*} f(2) = \frac{-2h*(2+h)²-2*2²}{h} \end{eqnarray*}$

Das würde doch gar keinen Sinn ergeben...

02.12.2015, 21:58

Steffen Bühler

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Ach, das ist unklar? Dann klären wir das mal.

Wir haben $\begin{align*} f(x)=-2x^2+16x \end{align*}$

Jetzt brauchen wir f(2) und f(2+h). Erstmal f(2), das heißt, überall wo x steht, kommt jetzt eine 2 hin:

$\begin{align*} f(2)=-2 \cdot 2^2+16 \cdot 2 \end{align*}$

Und nun dasselbe für f(2+h): einfach wieder ersetzen.

$\begin{align*} f(2+h)=-2 \cdot (2+h)^2+16 \cdot (2+h) \end{align*}$

Du bist dran.

02.12.2015, 22:06

Mathe6enSchreiber

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$\begin{eqnarray*} \frac{2(4+4h+h²)+32h}{h} \end{eqnarray*}$

Oder muss ich das h mit h im Nenner kürzen und dann stünde da nur noch 32?

02.12.2015, 22:07

Mathe6enSchreiber

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Meinte natürlich -2

Hab mich nur vertippt.

02.12.2015, 22:13

Steffen Bühler

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Trotzdem ist 16*(2+h) nicht 32h.

Und was wir brauchen, ist doch sowieso $\begin{align*} \frac {f(2+h)-f(2)}h \end{align*}$

Schreib das mal konzentriert auf. Oder noch besser: machen wir erst mal eine Pause, und morgen geht's dann entspannt weiter.

02.12.2015, 22:15

Mathe6enSchreiber

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Ist der 1. Teil denn richtig? Und beim 2. müsste ich ja dann nur das +h weglassen oder?

02.12.2015, 22:18

Steffen Bühler

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Nein, beim ersten Teil hast Du, wie gesagt, 16*(2+h) falsch umgeformt.

Und richtig, bei f(2) wird das h weggelassen. Ich hab's Dir ja auch schon vorhin aufgeschrieben, schreib es einfach ab.

02.12.2015, 22:20

Mathe6enSchreiber

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$\begin{eqnarray*} \frac{-2(4+4h+h²)+16*(2)}{h} \end{eqnarray*}$

Danke das du mir soweit geholfen hast!

Aber das MUSS doch eigentlich jetzt richtig sein oder?

02.12.2015, 22:28

Steffen Bühler

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Nein, leider ist es immer noch nicht richtig. Es fehlt noch zuviel.

Um 21:58 habe ich Dir f(2+h)=... und f(2)=... hingeschrieben.

Bitte nimm diese beiden Terme und setz sie stur in diesen Ausdruck ein:

$\begin{align*} \frac {f(2+h)-f(2)}h \end{align*}$

Dann forme konzentriert und in kleinen Schritten um. Irgendwann kürzt sich dann in der Tat das h weg. Dann bist Du am Ziel, die verbleibende Zahl ist die Momentangeschwindigkeit.

Ich schau mir's dann morgen gerne an.

Gute Nacht
Steffen

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