Matrixmultiplikation kommutativ? |
| 02.12.2015, 17:59 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Matrixmultiplikation kommutativ? ich wollte euch fragen, wann die Matrixmultiplikation quadratischer Matrizen kommutativ ist! Im Internet habe ich gelesen: "... wenn sie das gleiche System aus Eigenvektoren besitzen." bedeutet das, dass die Eigenvektoren den selben Vektorraum aufspannen müssen? Denn dann wären ja alle nxn-Matrix mit n verschiedenen Eigenvektoren kommutativ zueinander. |
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| 02.12.2015, 18:17 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn zwei Systeme von Vektoren den gleichen Raum aufspannen, müssen sie doch noch nicht gleich sein. |
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| 02.12.2015, 18:26 | derM. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Matrixmultiplikation kommutativ? http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node17.html Schau dir das was unten steht |
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| 02.12.2015, 18:34 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Link zeigt nur, dass die Matrixmultiplikation nicht im Allgemeinen kommutativ ist; das ist klar. Nur unter welchen Bedingungen ist sie es? @Nick: Das war eigentlich mein Gedanke. Was ist der Unterschied, wo liegt mein Denkfehler? |
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| 02.12.2015, 18:46 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Z.B. spannen die Systeme und den gleichen Raum auf; aber trotzdem sind sie nicht gleich. |
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| 02.12.2015, 21:26 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok also sie spannen den selben Raum auf, da beides linear unabhängige Vektoren sind, deshalb spannen beide den R^2 auf und die Vektoren des einen können die Vektoren des anderen als Linearkombinationen ausdrücken. Was unterscheidet jetzt aber ein "System" von einem "Vektorrraum". In meiner Vorstellung wären nämlich beide Systeme identisch, weil ich dachte ein "System" eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen mit der Dimension = Anzahl der Vektoren des Systems. Kann ich jetzt schlussfolgern: Die Matrixmultiplikation quadratischer Matrizen ist kommutativ, wenn beide Matrizen die selben Eigenvektoren besitzen? (also wirklich identische Eigenvektoren, nicht mal Skalar gestreckte oder gestauchte Vektoren) |
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| 02.12.2015, 21:49 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"System von Eigenvektoren" bedeutet hier: Menge von Eigenvektoren, sodass zu jedem Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums in dieser Menge enthalten ist (aber auch nicht mehr).
Wenn man irgendeinen Eigenvektor hat, ist doch jedes Vielfache dieses Vektors (mit Ausnahme des Nullvektors) wieder ein Eigenvektor. Beispiel: Wenn ein System aus Eigenvektoren einer Matrix ist, dann ist auch ein System aus Eigenvektoren. Und noch etwas: Der obige Satz sagt nur "Zwei Matrizen kommutieren, wenn es ein gemeinsames System von Eigenvektoren gibt." Das bedeutet aber nicht, dass dann alle Systeme von Eigenvektoren übereinstimmen (auch nicht bis auf Skalarmultiplikation). So etwas kann passieren, wenn die Dimension eines Eigenraums mind. 2 ist. |
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| 02.12.2015, 22:47 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok ich denke wir sind kurz vor dem Durchbruch! Können wir dann die Aussage auch deuten als: "... wenn jeder Eigenraum von A auch ein Eigenraum von B ist"? Denn jede Linearkombination (und damit auch skalare Multiplikation) der Vektoren eines Eigenraumens, führen nicht aus dieser Menge heraus (logische, da es sich ja bei Eigenräumen um Vektorräume handelt). Wenn diese Aussage nämlich erfüllt ist, gibt es auch ein gemeinsames System von Eigenvektoren. |
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| 03.12.2015, 16:10 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"... wenn jeder Eigenraum von A auch ein Eigenraum von B ist und jeder Eigenraum von B auch ein Eigenraum von A ist". So sollte es stimmen; deine Version war falsch. (Die Umkehrung stimmt übrigens nicht.) |
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