Äquivalenz zweier Problemstellungen

04.12.2015, 12:50	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz zweier Problemstellungen Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Hilbertraum, $\begin{eqnarray} V_h \subseteq V \end{eqnarray}$ ein abgeschlossener Teilraum und $\begin{eqnarray} u \in V \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass folgende Problemstellungen äquivalent sind: a) Ges.: $\begin{eqnarray} u_h \in V_h \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \Vert u - u_h \Vert_V = inf_{v_h \in V_h} \Vert u - v_h \Vert_h \end{eqnarray}$ b) Ges.: $\begin{eqnarray} u_h \in V_h \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \forall v_h \in V_h: (u_h, v_h)_V = (u, v_h)_V \end{eqnarray}$ Ich habe bereits gezeigt, dass eine Lösung von b) stehts eine Lösung von a) ist. Aber es gelingt mir einfach nicht, die Umkehrung zu zeigen. Kann mir da jemand helfen? Freundliche Grüße daLoisl
04.12.2015, 13:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz zweier Problemstellungen Die Idee ist: Beim Minimum verschwindet die Ableitung, eine Aussage die man in der Schule für reell--wertige Funktionen kennt und benutzt. D.h. benutze, dass die reellwertige Funktion $\begin{eqnarray} t \mapsto \\| u - (u_h +t v_h) \\|^2 \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v_h \end{eqnarray}$ ein Minimum besitzt. Das ist ein quadratisches Polynom, und man kann leicht b) folgern.
04.12.2015, 13:21	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank für die Hilfe. Damit hat es geklappt.
04.12.2015, 14:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut

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