Konvergenzradius und Identitätssatz für Potenzreihen

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Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius und Identitätssatz für Potenzreihen
Hi, ich habe einige Fragen zum Konvergenzradius bzw. Lösungen und würde gerne wissen, ob sie richtig sind. Konvergenzen von Reihen hauen eigtl. recht gut hin, beim Konvergenzradius bin ich irgendwie noch verunsichert.

Die Aufgaben wären:´

a ist übrigens Element der reellen Zahlen in allen Aufgaben und z ist, ich nehme mal an, komplex. Hab bezüglich z keine Information, ob es R oder C sein soll.

a)

Bei mir im Skript steht, dass man den Konvergenzradius mit



berechnen kann. Soweit so gut. Mal darauf angewendet.



So bin ich hier schon fertig? Ist mein Konvergenzradius also Null?

Nächste Aufgabe

b)

Gleiches Spiel:




Bin ich hier ebenfalls schon fertig?

c)



Und zu guter letzt die Aufgabe, bei der ich am wenigsten Ahnung habe:

d)


Ist diese Umformung überhaupt korrekt und wenn ja, darf ich sie dort bereits anwenden?



Und die zweite Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet:

Identitätssatz der Potenzreihen:

Es sei mit komplexen Koeffizienten und Konvergenzradius R > 0.

a) Zeigen Sie:
Zu jeder natürlichen Zahl n und jedem r Element der reellen Zahlen mit 0 < r < R gibt es eine Konstante K Element der reellen Zahlen mit der Eigenschaft


für alle


b) Folgern sie daraus den Identitätssatz für Potenzreihen. Wenn es eine gegen 0 konvergierende, komplexe Folge gibt mit der Eigenschaft, dass

und für jedes natürliche Zahl m, dann ist für alle

Mir sind erstmal die ersten 4 Teilaufgaben wichtig. Wenn die stimmen, dann würde ich mich gerne an die nächste Aufgabe ranmachen, jedoch bin ich bei solchen Beweisaufgaben extrem schlecht, da ich selten bis gar nicht auf den Ansatz komme und wäre deshalb froh, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet, wie man sowas anfängt. Schließlich will (mehr müssen als wollen) ich mit der Zeit auch selber schaffen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gnarf
a) [...]

Das stimmt so pauschal nicht, sondern nur für .

Für bzw. lautet das Ergebnis anders.
Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »

Oh stimmt. Darauf hab ich gar nicht geachtet.

Gut. dann ist für |a|=1 => r=1 und für |a| < 1 wäre es unendlich.

Wie schaut es beim Rest aus? Ich befürchte das schlimmste...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

b) ist grundsätzlich falsch - du hast den Exponenten bei in geradzu sträflicher Weise ignoriert - wieso? unglücklich

Als Potenzreihe mit Koeffizienten geschrieben haben wir da



vorliegen, d.h. mit den Koeffizienten

.

Folglich ist für

,

beim ersten = wird genutzt, dass nur die Quadratzahl-Indizes zum Limes-Superior beitragen, denn alle anderen Koeffizienten sind ja Null.

------------------------------------------------

Auch bei c) arbeitest du wieder unsauber: Da lässt du einfach an einer Stelle das "weg" - so geht das nicht. unglücklich

Was ist noch richtig:



Und jetzt nachdenken: Für gerade haben wir da stehen, das konvergiert gegen .

Für ungerade steht da aber , und das konvergiert gegen .

Und das Supremum der beiden ist i.a. NICHT , das stimmt nur für . Nein, es ist , und der Konvergenzradius ist damit .
Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe gerade bei der b) nicht, wieso ich die (n²)-te Wurzel ziehen muss. Es sind die ersten Aufgaben zu Konvergenzradien, die wir bekommen haben und uns wurde auch kein Beispiel vorgerechnet. Uns wurde lediglich die Formel hingeklatscht, kurz |z-z_0| > r und < r bewiesen und weiter ging es.

Hieße das naiv gesagt, wenn da z^(n^3) stehen würde, müsste ich die (n^3)-te Wurzel ziehen?

Könntest du mir evtl. ein Beispiel geben, in dem ich auch noch auf die a_k genau aufpassen muss? Und bitte nicht unbedingt etwas total triviales. Ich hasse solche Beispiele ^^
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gnarf
Ich verstehe gerade bei der b) nicht, wieso ich die (n²)-te Wurzel ziehen muss.

Was genau ist an der Zeile

Zitat:
Original von HAL 9000
,

beim ersten = wird genutzt, dass nur die Quadratzahl-Indizes zum Limes-Superior beitragen, denn alle anderen Koeffizienten sind ja Null.

unverständlich? verwirrt
 
 
Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt...uns wurde lediglich die Formel hingeklatscht.

Ich habe bevor ich diese Aufgaben gemacht habe einige andere Beispiele angeschaut, aber sowas ist mir gar nicht untergekommen.

Vielleicht verstehe ich allgemein die Herangehensweise nicht.

Wie würde das Ganze ausschauen, wenn "alle anderen" Koeffizienten eben nicht Null wären?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gnarf
Wie würde das Ganze ausschauen, wenn "alle anderen" Koeffizienten eben nicht Null wären?

Dann könnte man sie eben i.a. nicht sofort weglassen, und es kommt drauf an, wie Nicht-Null sie wären, d.h. eine genauer quantitative Erfassung ist nötig - was sonst.

Ich hätte inzwischen auch ein paar Erkenntnisse zur wirklich interessanten Aufgabe d), aber das hat keinen Zweck, solange du dich hier bei den Grundlagen aufhältst.
Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »

Aha. Ich soll mich einfach verziehen, weil ich eh zu dumm bin oder was genau willst du damit aussagen?

Tut mir leid, dass ich nicht alles auf Anhieb verstehe, wenn dem aber so wäre, dann müsste ich nicht studieren.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gnarf
Aha. Ich soll mich einfach verziehen, weil ich eh zu dumm bin oder was genau willst du damit aussagen?

Willst du hier was lernen, oder bist du auf Krawall gebürstet - was soll jetzt dieser Angriff? Finger2


Die gesamte Aufgabe ist wirklich nicht einfach, und ziemlich ungeeignet als Anfängeraufgabe. Wenn du aber doch Anfänger bist, dann tut es mir leid, aber ich kann darauf nicht unendlich Rücksicht nehmen.
Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin keinesfalls auf Krawall aus, aber was genau hätte mir dein vorheriger Beitrag an Erkenntnis bringen sollen? Ich bin über jede Hilfe dankbar, jedoch helfen solche Aussagen keinesfalls, sondern steigern nur den Frust, den man ohnehin schon hat.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann tut's mir leid, ich fasse hier keinen mit Samthandschuhen an - insbesondere dann nicht, wenn ich Argumente mehrfach wiederholen muss, nur weil nicht oder nur oberflächlich über sie nachgedacht wird. Hochschulforum bedeutet für mich, dass ich wenigstens Abiturkenntnisse voraussetzen kann.

Ich sehe, du brauchst Zeit, das bisherige zu verarbeiten. Also dann (vielleicht) bis morgen.
Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieder sagst du mir nicht, was an der d) vollkommen verkehrt ist. Ist es bei der d) das Produkt, das du meinst? Bin jetzt nachträglich auf 1/(e^a * (1-a)) gekommen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

d) ist in aufwändiger, als a)-c) zusammen. Das Ergebnis für den Konvergenzradius ist

.

Ich schlage daher vor, du widmest dich erstmal b) und c), bis die soweit klar sind.
Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »

So, hab mich jetzt nochmal durch sämtliche Definitionen und einige weiteren Beispiele geprügelt.

Die b) ist mir jetzt klar. Die c) soweit auch.
Bei der d) weiß ich auch schonmal, dass meine Umformung total daneben ist.

Und wenn ich nicht völlig daneben liege, dann sind die Koeffizienten für z bei der d) für n=0 und n=1 jeweils 1. Danach steht dieser Klammerausdruck jeweils davor.

Also es sollte sowas wie

= 1*z^0 + 1*z^1 + (....)²*z²+....+(...)^n *z^n

stehen.

Nun könnte ich es wie bei der b) aufteilen.
Ab hier weiß ich aber nicht wirklich weiter bzw. komme ich nicht auf dein Ergebnis, falls es bis hierhin stimmen sollte.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich schon sagte, d) ist ziemlich knifflig, mit jeder Menge Fallstricken... Schreiben wir das ganze erstmal in Ruhe auf: Es geht um mit den Koeffizienten .

Für und ist diese Produktdefinition ziemlich wacklig, aber zum Glück kommt es bei der Reihenkonvergenz nicht auf diese ersten beiden Glieder an, also ignorieren wir die einfach (beim Reihenwert wäre es schon wichtig).

Nächster Punkt: Für ganzzahlige (!) gilt für alle , denn der Faktor für Indexwert in der Koeffizientendefinition ist gleich Null, was den gesamten Koeffizienten zu Null macht. Damit hat die Potenzreihe nur endlich viele Nichtnull-Glieder, ist also ein Polynom, und hat damit Konvergenzradius .


Dieser Fall ist abgehakt, sei daher im folgenden , für diese sind alle , und wir können deren Betrag somit logarithmieren:

.

Darauf den Cauchyschen Grenzwertsatz angewandt folgt aus dann auch und folglich , d.h. der Konvergenzradius ist hier .
Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Das Ganze muss ich erstmal verdauen, insbesondere den Teil mit dem Logarithmus.

Den Cauchyschen Grenzwertsatz hatten wir gar nicht gehabt und weiß nicht, ob ich den überhaupt benutzen darf. (Hab eben nachgeschaut.)

Ich versuch es erstmal zu verstehen und frag dann, wenn sich mir irgendwas nicht erschließt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fall bei d) scheint mir mit dem Quotientenkriterium schneller zu gehen. Für genügend große gilt:



Daher gilt:



Und der letzte Ausdruck ist für und für . Also ist der Konvergenzradius.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So geht's natürlich auch. Big Laugh

War wohl zu sehr auf Cauchy-Hadamard fixiert, nach all den Beispielen vorher, wo Quotientenbildung sämtlich nichts gebracht hätte.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum nächsten Problemkomplex:

Zitat:
Original von Gnarf
a) Zeigen Sie:
Zu jeder natürlichen Zahl n und jedem r Element der reellen Zahlen mit 0 < r < R gibt es eine Konstante K Element der reellen Zahlen mit der Eigenschaft

für alle

Sieht ziemlich falsch aus: Dazu muss man ja nur mal das Gegenbeispiel für eine Potenzreihe mit betrachten. unglücklich
Gnarf Auf diesen Beitrag antworten »

Fehler entdeckt: Startindex muss k=n sein.

Kann sein, dass ich mich verschrieben habe. Hab mal ein Pic davon gemacht.

[attach]40014[/attach]

@ Leopold Danke für den weiteren Lösungsvorschlag. Der ist doch wesentlich einfacher zu handhaben- ^^
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Hiermit gilt:



Jetzt verwende einen bekannten Satz für stetige Funktionen auf kompakten Mengen.
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