Teilraum, Vektorraum, Durchschnitt, Summe

06.12.2015, 13:18	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilraum, Vektorraum, Durchschnitt, Summe Sei W ein Teilraum eines Vektorraums V a) Sei U ein Teilraum von V, $\begin{eqnarray} W \cap U = \{0\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \in (V \setminus (W+U) \end{eqnarray}$ ). Zeige, dass $\begin{eqnarray} U':=<v> + U \end{eqnarray}$ ein Teilraum von V ist für den $\begin{eqnarray} U \subset U', W \cap U' = \{0\} \end{eqnarray}$ gilt. Hallo $\begin{eqnarray} <v>+U \end{eqnarray}$ ist ein Teilraum als Summe zweier Teilräume von V. ZZ.: $\begin{eqnarray} U \subset U' \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} u \in U: u=u+0v \in U + <v>=U' \end{eqnarray}$ Die Teilmenge ist echt: Sei $\begin{eqnarray} u' \in U' \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} u'= v + u \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ beliebig. Wäre $\begin{eqnarray} u' \in U \end{eqnarray}$ so auch $\begin{eqnarray} u'-u \in U \end{eqnarray}$ Widerspruch ZZ.: $\begin{eqnarray} W \cap U' = \{0\} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x \in W \cap U' \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} x \in U \end{eqnarray}$ folgt die Behauptung aus $\begin{eqnarray} W \cap U = \{0\} \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} x \in U' \setminus U : x = \lambda v + u \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda \in K, u \in U \end{eqnarray}$ -) Ist u=0 : $\begin{eqnarray} x = \lambda v \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} \lambda =0 \end{eqnarray}$ folgt x=0 Wäre $\begin{eqnarray} \lambda v \in W \end{eqnarray}$ ao auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda} \lambdav=v \in W \end{eqnarray}$ Widerspruch -) Ist $\begin{eqnarray} u \not= 0 \end{eqnarray}$ in U, so ist $\begin{eqnarray} u \not\in W \end{eqnarray}$ Wäre $\begin{eqnarray} \lambda=0 \end{eqnarray}$ so folgt aus $\begin{eqnarray} x=u \end{eqnarray}$ ein Widerspruch, da $\begin{eqnarray} x \in W, u \in U, W \cap U = \{0\} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \lambda \in K^{} \end{eqnarray}$ (invertierbar) Wäre $\begin{eqnarray} \lambda v \in W \Rightarrow \frac{1}{\lambda} \lambda v =v \in W \end{eqnarray}$ Widerspruch Also $\begin{eqnarray} \lambda v \not\in W \end{eqnarray*}$ Hier komme ich nicht weiter, weil ja dann nicht folgen muss, dass die Summe nicht in W ist? Liebe Grüße, MaGi
06.12.2015, 20:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilraum, Vektorraum, Durchschnitt, Summe Ich denke du machst es dir zu kompliziert. Sei $\begin{eqnarray} w \in W \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} w = \lambda v + u \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \lambda v = w + (-u) \in W + U \end{eqnarray}$ . Nach Definition von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ist also $\begin{eqnarray} \lambda = 0 \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} w = \lambda v + u = u \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} W \cap U = \{ 0\} \end{eqnarray}$ ist also $\begin{eqnarray} w = u = 0 \end{eqnarray}$ .
18.12.2015, 12:05	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich habe ganz vergessen mich zu bedanken! Mit deiner Hilfe war mir nun alles klar! Liebe Grüße, MaGi

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