Affine Translation, Transformation und Streckung

07.12.2015, 17:30	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Affine Translation, Transformation und Streckung Ich soll beweisen, dass wenn der lineare Anteil einer affinen Transformation ein Vielfaches der Identität ist, so ist sie Translation oder Streckung. Definiert haben wir die Transformation über eine Translation: $\begin{eqnarray} \tau := V\times A \rightarrow A : (v,a) \mapsto \tau_v(a) := a+v \end{eqnarray}$ und einen Automorphismus $\begin{eqnarray} \lambda \in Aut(V) \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \alpha : A \rightarrow A : b \mapsto \alpha(b):= \tau _w(a) + \lambda(v) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} b = a+v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist der Ursprung des affinen Raumes ist jetzt $\begin{eqnarray} \lambda = id_V \end{eqnarray}$ so lässt sich $\begin{eqnarray} \tau_w(a) + v \end{eqnarray}$ umformen zu $\begin{eqnarray} \tau_{w+v}(a) \end{eqnarray}$ womit ich den ersten Teil bewiesen hätte Nur wie komme ich jetzt auf die Streckung?
07.12.2015, 18:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Bezeichnungen sind irritierend und mit zu viel Unnötigem belastet. Mir fehlt da der Durchblick. Steht das so in der Aufgabe oder hast du es dir selbst zurechtgelegt? Ich versuche, mich an deine Bezeichner zu halten, obwohl ich die Wahl anders und suggestiver getroffen hätte. Da haben wir zunächst eine Translation $\begin{align} \tau \end{align}$ um den Vektor $\begin{align} v \end{align}$ : $\begin{align} \tau: \ a \mapsto a + v \end{align}$ und eine lineare Abbildung $\begin{align} \lambda \end{align}$ , die ein Vielfaches der Identität ist: $\begin{align} \lambda: \ a \mapsto ra \end{align}$ mit einem reellen $\begin{align} r \neq 0 \end{align}$ Und jetzt geht es um die Abbildung $\begin{align} \alpha = \tau \circ \lambda \end{align}$ , also $\begin{align} \alpha: \ a \mapsto ra + v \end{align}$ Und komplizierter braucht man das nicht zu machen. Ist nun $\begin{align} r=1 \end{align}$ , so ist $\begin{align} \alpha \end{align}$ eine Translation. Bleibt der Fall $\begin{align} r \neq 1 \end{align}$ . Die Streckung mit $\begin{align} z \end{align}$ als Streckzentrum und $\begin{align} s \end{align}$ als Streckfaktor ist $\begin{align} a \mapsto z + s(a-z) \end{align}$ . Den Abbildungsterm kann man umformen: $\begin{align} z + s(a-z) = sa + (1-s)z \end{align}$ Und jetzt vergleiche dies mit $\begin{align} ra + v \end{align}$ . Wie muß man $\begin{align} s \end{align}$ und $\begin{align} z \end{align}$ wählen, damit sich $\begin{align} ra + v \end{align}$ ergibt?
07.12.2015, 18:29	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definitionen habe ich so aus der Vorlesung. Mir ist nicht ganz klar, warum du den Punkt $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ ein Affinraum mit einer reellen Zahl mutiplizierst. Sollte es nicht $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ VR sein?
07.12.2015, 20:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da müssen wir dann erst die Begriffe klären. Wir können natürlich die Punkte $\begin{align} X,Y,Z,\ldots \end{align}$ des affinen Raumes von den Vektoren des Vektorraumes streng unterscheiden und je zwei Punkten $\begin{align} X,Y \end{align}$ einen Vektor $\begin{align} \overrightarrow{XY} \end{align}$ unter Verwendung der üblichen Axiome zuordnen. Oft werden jedoch Punkte und Vektoren identifiziert. Nur in ihrer Rolle, die sie jeweils einnehmen, kann man sie noch als Punkte oder Vektoren erkennen. Und genau das scheint ihr ja in der Vorlesung auch gemacht zu haben. Jedenfalls verwendest du selbst $\begin{align} a \in A \end{align}$ und $\begin{align} v \in V \end{align}$ , und kaum später schreibst du $\begin{align} a+v \end{align}$ , hast also die Sicht geändert und verwendest jetzt (den Punkt) $\begin{align} a \end{align}$ in seiner Rolle als Vektor. Insofern verstehe ich nicht, warum dich dann $\begin{align} ra \end{align}$ stört. Was gilt nun? Vielleicht wäre es hilfreich, den Originaltext der Aufgabe vollständig hier hereinzuschreiben.
08.12.2015, 07:15	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Die genaue Angabe ist: Beweisen Sie: Ist der lineare Anteil einer affinen Transformation Vielfaches der Identität, so ist sie Translation oder Streckung
08.12.2015, 11:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha! Und damit ist mein Ansatz genau der zielführende. Falls du etwas daran nicht verstanden hast, so frage.
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08.12.2015, 15:12	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deiner ersten Frage, wie ich s und z wählen muss: ist mir nicht ganz klar, was du meinst. Für mich ist z nur ein beliebiger Punkt, den ich zu meinem Streckzentrum mache und s > 1 der Faktor um den ich strecke
09.12.2015, 08:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergleiche die und die : $\begin{align} \color{blue} ra \color{black} + \color{red} v \end{align}$ $\begin{align} \color{blue} sa \color{black} + \color{red} (1-s)z \end{align}$ Jetzt kannst du $\begin{align} s \end{align}$ und $\begin{align} z \end{align}$ in Abhängigkeit von $\begin{align} r \end{align}$ und $\begin{align} v \end{align}$ bestimmen. Zur Veranschaulichung habe ich für dich eine Euklid-Datei im Anhang erstellt. Zum Öffnen der Datei installiere Euklid.

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