Affine Translation, Transformation und Streckung

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klias Auf diesen Beitrag antworten »
Affine Translation, Transformation und Streckung
Ich soll beweisen, dass wenn der lineare Anteil einer affinen Transformation ein Vielfaches der Identität ist, so ist sie Translation oder Streckung.

Definiert haben wir die Transformation über

eine Translation:
und einen Automorphismus

so dass

für und ist der Ursprung des affinen Raumes

ist jetzt so lässt sich umformen zu womit ich den ersten Teil bewiesen hätte

Nur wie komme ich jetzt auf die Streckung?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Bezeichnungen sind irritierend und mit zu viel Unnötigem belastet. Mir fehlt da der Durchblick. Steht das so in der Aufgabe oder hast du es dir selbst zurechtgelegt? Ich versuche, mich an deine Bezeichner zu halten, obwohl ich die Wahl anders und suggestiver getroffen hätte.

Da haben wir zunächst eine Translation um den Vektor :



und eine lineare Abbildung , die ein Vielfaches der Identität ist:

mit einem reellen

Und jetzt geht es um die Abbildung , also



Und komplizierter braucht man das nicht zu machen. Ist nun , so ist eine Translation. Bleibt der Fall .

Die Streckung mit als Streckzentrum und als Streckfaktor ist . Den Abbildungsterm kann man umformen:
Und jetzt vergleiche dies mit . Wie muß man und wählen, damit sich ergibt?
 
 
klias Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definitionen habe ich so aus der Vorlesung.

Mir ist nicht ganz klar, warum du den Punkt ein Affinraum mit einer reellen Zahl mutiplizierst. Sollte es nicht VR sein?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Da müssen wir dann erst die Begriffe klären. Wir können natürlich die Punkte des affinen Raumes von den Vektoren des Vektorraumes streng unterscheiden und je zwei Punkten einen Vektor unter Verwendung der üblichen Axiome zuordnen.
Oft werden jedoch Punkte und Vektoren identifiziert. Nur in ihrer Rolle, die sie jeweils einnehmen, kann man sie noch als Punkte oder Vektoren erkennen. Und genau das scheint ihr ja in der Vorlesung auch gemacht zu haben. Jedenfalls verwendest du selbst und , und kaum später schreibst du , hast also die Sicht geändert und verwendest jetzt (den Punkt) in seiner Rolle als Vektor. Insofern verstehe ich nicht, warum dich dann stört. Was gilt nun?

Vielleicht wäre es hilfreich, den Originaltext der Aufgabe vollständig hier hereinzuschreiben.
klias Auf diesen Beitrag antworten »

Die genaue Angabe ist:

Beweisen Sie: Ist der lineare Anteil einer affinen Transformation Vielfaches der Identität, so ist sie Translation oder Streckung
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aha! Und damit ist mein Ansatz genau der zielführende. Falls du etwas daran nicht verstanden hast, so frage.
klias Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deiner ersten Frage, wie ich s und z wählen muss: ist mir nicht ganz klar, was du meinst. Für mich ist z nur ein beliebiger Punkt, den ich zu meinem Streckzentrum mache und s > 1 der Faktor um den ich strecke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vergleiche die variablen Teile und die konstanten Teile:





Jetzt kannst du und in Abhängigkeit von und bestimmen.

Zur Veranschaulichung habe ich für dich eine Euklid-Datei im Anhang erstellt. Zum Öffnen der Datei installiere Euklid.
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