Verfahren von Heun

07.12.2015, 21:22

Rivago

Verfahren von Heun

Analog zum anderen Thread "Explizites Euler-Verfahren" jetzt die gleiche Aufgabe mit dem Verfahren von Heun.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Heun-Verfahrens die Näherung für die Lösung der Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y' = -\frac{2xy^2}{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0) = 2 \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I = \left[ 0;3\right] \end{eqnarray*}$ mit der Schrittweite $\begin{eqnarray*} h = 0,1 \end{eqnarray*}$

Für Heun hab ich im Skript stehen $\begin{eqnarray*} u_{k + 1} = u_k + \frac{h}{2} \cdot \left[ f(t_k, u_k) + f(t_k + h, u_k + h \cdot f(t_k, u_k)) \right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_0 = y_0 \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht so richtig was jetzt $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ sein soll. Kann mir das bitte jemand sagen? smile

07.12.2015, 21:53

Dopap

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RE: Verfahren von Heun
$\begin{eqnarray*} u_{k + 1} = u_k + \frac{h}{2} \cdot \left[ f(t_k, u_k) + f(t_k + h, u_k + h \cdot f(t_k, u_k)) \right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_0 = y_0 \end{eqnarray*}$

ist es so lesbarer :

$\begin{eqnarray*} y_{k + 1} = y_k + \frac{h}{2} \cdot \left[ f(x_k, y_k) + f(x_k + h, y_k + h \cdot f(x_k, y_k)) \right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 =2 \quad x_0=0 \end{eqnarray*}$

07.12.2015, 22:11

Rivago

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Ja, so gefällt es mir besser smile

Dann beginne ich doch immer mit $\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Ich rechne es mal durch:

$\begin{eqnarray*} f(x_k, y_k) \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} k = 0 \rightarrow f(x_0, y_0) = f(0;2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_k + h, y_k + h \cdot f(x_k, y_k)) \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} k = 0 \rightarrow f(x_0 + h; y_0 + h \cdot f(x_0, y_0)) = f(0 + 0,1 ; 2 + 0,1 \cdot 0) = f(0,1 ; 2) = -\frac{80}{101} \end{eqnarray*}$

So, jetzt kann man das mal zusammensetzen:

$\begin{eqnarray*} y_1 = \underbrace{2}_{= y_0} + \underbrace{\frac{0,1}{2}}_{h/2} \cdot \left ( \underbrace{0}_{= f(0;2)} + \left( \underbrace{-\frac{80}{101}}_{= f(0,1 ; 2)} \right) \right) = -1,623762376 \end{eqnarray*}$

Und das stimmt leider nicht unglücklich

Was mach ich da noch falsch?

07.12.2015, 22:53

Dopap

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$\begin{eqnarray*} y_1 = \underbrace{2}_{= y_0} + \underbrace{\frac{0,1}{2}}_{h/2} \cdot \left ( \underbrace{0}_{= f(0;2)} + {\color{red}h} \left( \underbrace{-\frac{80}{101}}_{= f(0,1 ; 2)} \right) \right) = 1.99604 \end{eqnarray*}$

07.12.2015, 23:04

Rivago

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Das steckt doch aber hier schon mit drin verwirrt

$\begin{eqnarray*} k = 0 \rightarrow f(x_0 + h; y_0 + h \cdot f(x_0, y_0)) = f(0 + 0,1 ; \underbrace{2 + 0,1 \cdot 0}_{= y_0 + h \cdot f(x_y, y_0)}) = f(0,1 ; 2) = -\frac{80}{101} \end{eqnarray*}$

Und wie kommst du dann auf einen positiven Wert? In der Klammer ist doch der Wert dann trotzdem noch negativ..

Edit: Das mit dem negativen Wert hat sich erledigt..

Aber den Rest versteh ich trotzdem nicht. Hab ich das nicht schon verrechnet?

Noch ein Edit: Habe gerade meinen Fehler entdeckt. Ich habe die ganze Zeit mit 2,05 gerechnet. Dabei steht da ja aber 2 + 0,05 * (...) Hammer

Der Wert in der Klammer stimmt. Es ist demnach $\begin{eqnarray*} y_1 = \underbrace{2}_{= y_0} + \underbrace{\frac{0,1}{2}}_{h/2} \cdot \left ( \underbrace{0}_{= f(0;2)} + \left( \underbrace{-\frac{80}{101}}_{= f(0,1 ; 2)} \right) \right) = 1,96039603960 \end{eqnarray*}$

Finde dieses Verfahren recht unübersichtlich, da man immer erst ne Weile braucht um zu wissen welche Zahlen man wo einsetzen muss.

Hast du da eine gute Strategie, damit das möglichst schnell und ohne Fehler vorran geht? smile

07.12.2015, 23:40

Dopap

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$\begin{eqnarray*} y_1 = \underbrace{2}_{= y_0} + \underbrace{\frac{0,1}{2}}_{h/2} \cdot \left ( \underbrace{0}_{= f(0;2)} + \left( \underbrace{-\frac{80}{101}}_{= f(0,1 ; 2)} \right) \right) = 1.9604 \end{eqnarray*}$

so, jetzt haben wir beide dasselbe. smile

die geschachtelten Formeln sind Gift für das Gehirn - siehe mein falsches h -

Das Heun-Verfahren konvergiert quadratisch und hat einen Zwischenschritt. Runge-Kutta hat 4 Zwischenschritte, das möchte man wirklich nicht mehr als eine Formel sehen.

so geht es besser:

$\begin{eqnarray*} x_1=x_0+h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat y_1 = y_0+hf(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1 = y_0+\tfrac h2[ f(x_0,y_0)+f(x_1,\hat y_1)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat y_1 \end{eqnarray*}$ nennt man auch den Prädiktor.

07.12.2015, 23:54

Rivago

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Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} x_1=x_0+h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat y_1 = y_0+hf(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1 = y_0+\tfrac h2[ f(x_0,y_0)+f(x_1,\hat y_1)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat y_1 \end{eqnarray*}$ nennt man auch den Prädiktor.

Danke

Für den nächsten Schritt wäre es dann entsprechend:

$\begin{eqnarray*} x_2=x_0 + 2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat y_2 = y_1+hf(x_1,y_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2 = y_1+\tfrac h2[ f(x_1,y_1)+f(x_2,\hat y_2)] \end{eqnarray*}$

Hab ich alles richtig gemacht oder ist ein Fehler drin?

Morgen muss ich mich dann noch mit der Mittelpunktsregel und Runge-Kutta beschäftigen Hammer

08.12.2015, 01:38

Dopap

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stimmt so !

im Sinne der zyklischen Programmierung würde ich

$\begin{eqnarray*} x_2=x_1 +h \end{eqnarray*}$ setzen.

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