Argumente einer Wurzel im Intervall (-pi,pi] bestimmen

07.12.2015, 23:55

vogs

Argumente einer Wurzel im Intervall (-pi,pi] bestimmen

$\begin{eqnarray*} w^3=y^3*z^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w=-2-2i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=4-4i \end{eqnarray*}$ ist gegeben.

Für $\begin{eqnarray*} w^3 \end{eqnarray*}$ hätte ich das Argument folgendermaßen ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} arctan(-2/-2)= \frac{\pi}{4} => (\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})*3-2*\pi = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ zur Korrektur des Quadranten (ist ja im 2. und nicht im 1.).
$\begin{eqnarray*} *3 \end{eqnarray*}$ wegen der Potenz
und $\begin{eqnarray*} -2*\pi \end{eqnarray*}$ um wieder ins Intervall zu kommen.

Für $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ hätte ich das Argument folgendermaßen ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} arctan(-4/4)= -\frac{\pi}{4} => (\frac{\pi}{4}+2*\pi)*3-4*\pi = \frac{5*\pi}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +2*\pi \end{eqnarray*}$ zur Korrektur des Quadranten (ist ja im 2. und nicht im 1.).
$\begin{eqnarray*} *3 \end{eqnarray*}$ wegen der Potenz
und $\begin{eqnarray*} 4*\pi \end{eqnarray*}$ um wieder ins Intervall zu kommen.

Und dann für $\begin{eqnarray*} arg(z) = arg(w)-arg(y) = \frac{\pi}{4} - \frac{5*\pi}{4} = -\pi \end{eqnarray*}$ Das müsste dann ja wieder um $\begin{eqnarray*} +2*\pi \end{eqnarray*}$ korrigiert werden $\begin{eqnarray*} => \pi \end{eqnarray*}$ . Müsste ja so fürs Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2*\pi) \end{eqnarray*}$ stimmen oder?

Was mache ich falsch/ was muss ich fürs Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ anders machen?

08.12.2015, 10:17

Steffen Bühler

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RE: Argumente einer Wurzel im Intervall (-pi,pi] bestimmen

Zitat:

Original von vogs
$\begin{eqnarray*} +\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ zur Korrektur des Quadranten (ist ja im 2. und nicht im 1.).
...
$\begin{eqnarray*} +2*\pi \end{eqnarray*}$ zur Korrektur des Quadranten (ist ja im 2. und nicht im 1.)

Nein, ist im dritten.

Du hast einen negativen Realteil und einen negativen Imaginärteil, das ist dann also links unten.

Deswegen ist die Regel auch nicht, dass man $\begin{align*} \frac {\pi}2 \end{align*}$ oder gar $\begin{align*} 2 {\pi} \end{align*}$ addiert, sondern $\begin{align*} \pi \end{align*}$ , wenn der Realteil negativ ist.

Viele Grüße
Steffen

08.12.2015, 11:34

vogs

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Achja danke!
$\begin{eqnarray*} w^3=y^3*z^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w=-2-2i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=4-4i \end{eqnarray*}$ ist gegeben.

Für $\begin{eqnarray*} w^3 \end{eqnarray*}$ hätte ich das Argument folgendermaßen ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} arctan(-2/-2)= \frac{\pi}{4} => (\frac{\pi}{4}+\pi)*3-2*\pi = \frac{7*\pi}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\pi \end{eqnarray*}$ zur Korrektur des Quadranten (ist ja im 3. und nicht im 1.).
$\begin{eqnarray*} *3 \end{eqnarray*}$ wegen der Potenz
und $\begin{eqnarray*} -2*\pi \end{eqnarray*}$ um wieder ins Intervall zu kommen.

Für $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ hätte ich das Argument folgendermaßen ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} arctan(-4/4)= -\frac{\pi}{4} => (-\frac{\pi}{4}+2*\pi)*3-4*\pi = \frac{5*\pi}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +2*\pi \end{eqnarray*}$ zur Korrektur des Quadranten (ist ja im 2. und nicht im 1.).
$\begin{eqnarray*} *3 \end{eqnarray*}$ wegen der Potenz
und $\begin{eqnarray*} 4*\pi \end{eqnarray*}$ um wieder ins Intervall zu kommen.

Und dann für $\begin{eqnarray*} arg(z) = arg(w)-arg(y) = \frac{7*\pi}{4} - \frac{5*\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ So sollte es ja fürs Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2*\pi) \end{eqnarray*}$ stimmen oder?

Was mache ich falsch/ was muss ich fürs Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ anders machen?

Die Ergebnisse im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ sollten folgende sein: $\begin{eqnarray*} {-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},\frac{5*\pi}{6}} \end{eqnarray*}$

08.12.2015, 11:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von vogs
Und dann für $\begin{eqnarray*} arg(z) = arg(w)-arg(y) = \frac{7*\pi}{4} - \frac{5*\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ So sollte es ja fürs Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2*\pi) \end{eqnarray*}$ stimmen oder?

Nein. Was du hier tatsächlich berechnet hast, ist

$\begin{align*} \operatorname{arg}(z^3) = \operatorname{arg}(w^3)-\operatorname{arg}(y^3) = \frac{\pi}{2} \end{align*}$

und als solches erstmal richtig. Jetzt gilt es aus dem Argument von $\begin{align*} z^3 \end{align*}$ auf die Argumente der sich daraus ergebenden drei möglichen dritten Wurzeln $\begin{align*} z \end{align*}$ zu schließen.

08.12.2015, 12:01

vogs

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Genau. Soweit, so klar.

Meine Güte ab und zu steht man wirklich auf dem Schlauch. Danke!

Nagut, wenn man schon vom falschen "Grundargument" ausgeht, wird man die richtigen Wurzelargumente auch nicht berechnen können. Dann ist es eh so wie ichs mir gedacht habe. Also das Argument prinzipiell mal berechnen und dann eben die Wurzeln (hier 3). Falls ein Argument nicht mehr im Intervall ist, einfach $\begin{eqnarray*} -2*\pi \end{eqnarray*}$ rechnen.

Z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\pi}{2}+4*\pi}{3} = \frac{3*\pi}{2} - 2*\pi = -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

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