Fourierreihe - Übergang von ck der kompl. Reihe zu ak/bk der reellen Reihe

10.12.2015, 12:25	Nord.Kind	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierreihe - Übergang von ck der kompl. Reihe zu ak/bk der reellen Reihe Meine Frage: Ich lerne gerade den Umgang mit der Fourierreihe und bin gerade an einer Beispielaufgabe in einem Buch. Allerdings scheint sich hier ein Fehler eingeschlichen zu haben. Das oder ich mache einen Fehler. Im Anhang findet Ihr einen Screenshot aus einem kleinen Absch Buch Meine Ideen: Der Zusammenhang von ck und ak/bk sei wie folgt: ak=2Re(ck) bk=-2Im(ck) für k=gerade ist ck=i/2k. ->2Re(ck)=ak=0 ->-2Im(ck)=bk=-1/k Soweit stimmt es auch mit Buch überein. Für k=ungerade ist ck=-i/(pik^2)-1/2k ->2Re(ck)=ak=-1/k ->-2Im(ck)=bk=2/(pik^2) Laut Buch ist jedoch ak=-2/(pi*k^2) bk=1/k (Siehe Anhang) Habe ich nun irgendwie einen dummen Fehler, oder liegt das Buch falsch? Danke und Grüße!
10.12.2015, 13:12	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe - Übergang von ck der kompl. Reihe zu ak/bk der reellen Reihe So wie es im Buch steht, ist es in der Tat falsch. Es wäre allerdings interessant, die ganze Aufgabe zu kennen. Viele Grüße Steffen
10.12.2015, 14:06	Nord.Kind	Auf diesen Beitrag antworten »
Das beruhigt mich schonmal. Im Anhang die vollständige AUfgabe. Grüße!
10.12.2015, 16:34	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da ist im Buch was durcheinandergekommen. Die obere Integrationsgrenze muss hier $\begin{align} \pi \end{align}$ sein, danach ist die Funktion ja Null. Daher gilt $\begin{align} c_k = \frac 1 {2 \pi} \left[ - \frac x {ik} e^{-ikx} + \frac 1 {k^2} e^{-ikx} \right]^{\pi}_0 \end{align}$ $\begin{align} = \frac 1 {2 \pi} \left ( \left[ - \frac {\pi} {ik} e^{-ik \cdot \pi} + \frac 1 {k^2} e^{-ik \cdot \pi} \right] - \left[ - \frac {0} {ik} e^{-ik \cdot 0} + \frac 1 {k^2} e^{-ik \cdot 0} \right]\right) \end{align}$ Für ungerade k gilt dann: $\begin{align} = \frac 1 {2 \pi} \left ( \left[ - \frac {\pi} {ik} \cdot (-1) + \frac 1 {k^2} \cdot (-1) \right] - \left[ - \frac {0} {ik} e^{-ik \cdot 0} + \frac 1 {k^2} e^{-ik \cdot 0} \right]\right) \end{align}$ $\begin{align} = \frac 1 {2 \pi} \left ( \left[\frac {\pi} {ik} - \frac 1 {k^2} \right] - \left[ \frac 1 {k^2} \right]\right) \end{align}$ $\begin{align} = \frac 1 {2 \pi} \left ( \frac {\pi} {ik} - \frac 2 {k^2} \right) \end{align}$ $\begin{align} = \frac 1 {2ik} - \frac 1 {\pi \cdot k^2} \end{align}$ $\begin{align} = - \frac i {2k} - \frac 1 {\pi \cdot k^2} \end{align}$ Und daraus folgt dann richtig: $\begin{align} a_k = - \frac 2 {\pi k^2} \end{align}$ und $\begin{align} b_k = \frac 1k \end{align}$ Viele Grüße Steffen

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