Zwei Sinusfunktionen mit immer gleichem Normalenabstand

10.12.2015, 17:31

HE80

Zwei Sinusfunktionen mit immer gleichem Normalenabstand

Meine Frage:
Hallo,

ich suche eine Lösung für folgendes Problem. Gegeben ist eine Sinusfunktion. Es ist eine zweite Sinusfunktion gesucht, deren Normale immer den gleichen Abstand von der ersten Sinusfunktion hat.

Meine Ideen:
Über einen geometrischen Ansatz komme ich nicht weiter, die Normalenfunktion zur Sinusfunktion weiß ich nicht.

11.12.2015, 01:07

Nubler

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wer sagt, dass es so was überhaupt existiert?

11.12.2015, 01:31

Dopap

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Du möchtest sozusagen eine Eisenbahnlinie um 2 Hindernisse herum bauen.

Eine Schiene könnte durchaus eine Sinuskurve sein, nur ist die Andere dann bestimmt
keine Sinuskurve mehr. Diese hat nämlich so gut wie überall verschiedene Krümmungsradien zur ersten Schiene.
meine Meinung
Augenzwinkern

11.12.2015, 07:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nubler
wer sagt, dass es so was überhaupt existiert?

Genau das ist das Problem an der Formulierung

Zitat:

Original von HE80
Es ist eine zweite Sinusfunktion gesucht, deren Normale immer den gleichen Abstand von der ersten Sinusfunktion hat.

Das Sinus muss schlicht gestrichen werden. Mit Mitteln der Differentialgeometrie kriegt man zumindest eine Parameterdarstellung der gesuchten Kurve hin, hier für d=0.5

und d=1:

Für größere d ist das ganze keine Funktion mehr:

11.12.2015, 08:31

HE80

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Hallo,

danke für eure Hilfe!

@Dopap: die Eisenbahnschienenvisualisierung beschreibt das praktische Problem sehr gut.

@HAL9000: kannst du mir deinen Lösungsansatz bitte etwas ausführlicher beschreiben? Wie kommst du auf sin(t)+0,5/sqrt(1+(cos(t))**2)?

11.12.2015, 09:07

gast05

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du brauchst wohl den Einheitsnormalenvektor

11.12.2015, 10:03

HAL 9000

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Genauso ist es. Wir haben die Ausgangskurve $\begin{align*} x_1(t)=t,y_1(t)=\sin(t) \end{align*}$ . Im Punkt $\begin{align*} (x_1(t),y_1(t)) = (t,f(t)) \end{align*}$ hat die die Kurve den unnormierter Tangentenvektor $\begin{align*} (x_1'(t),y_1'(t)) = (1,f'(t)) \end{align*}$ . Dazu senkrecht steht der unnormierter Normalenvektor $\begin{align*} (-f'(t),1) \end{align*}$ , und den dann normiert haben wir $\begin{align*} \vec{n}_t = \left( -\frac{f'(t)}{\sqrt{1+(f'(t))^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+(f'(t))^2}} \right) \end{align*}$ .

Im Abstand $\begin{align*} d \end{align*}$ "entlang" dieses Einheitsnormalenvektors $\begin{align*} \vec{n}_t \end{align*}$ liegt nun der Punkt

$\begin{align*} \begin{pmatrix} x_2(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ y_1(t) \end{pmatrix} + d\cdot \vec{n}_t = \begin{pmatrix} t - \frac{df'(t)}{\sqrt{1+(f'(t))^2}} \\ f(t) + \frac{d}{\sqrt{1+(f'(t))^2}} \end{pmatrix} \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} f(t)=\sin(t) \end{align*}$ mit $\begin{align*} f'(t)=\cos(t) \end{align*}$ bedeutet das dann eben

$\begin{align*} x_2(t) = t - \frac{d\cos(t)}{\sqrt{1+\cos^2(t)}},\qquad y_2(t) = \sin(t) + \frac{d}{\sqrt{1+\cos^2(t)}} \end{align*}$ .

11.12.2015, 12:09

HE80

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Vielen Dank für die ausführliche Beschreibung!

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