Lineare Unabhängigkeit von Abbildungen

10.12.2015, 20:51	Desogude	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Abbildungen Es sei $\begin{eqnarray} V = Abb(N,R) \end{eqnarray}$ der R-Vektorraum aller Abbildungen von N -> R. Für $\begin{eqnarray} i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ definiert man die Abbildung $\begin{eqnarray} e_i : N -> R \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} e_i \left(j\right) = 1 \end{eqnarray}$ für i=j und 0 sonst Zeigen Sie, dass die $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ llinear unabhängig sind, und dass ihr Span gerade diejenigen Abbildungen sind, die fast überall Null sind. Also meine Idee: Ich habe also eine Abbildung von e_1 (1) => 1 und e_2(2) =>1 etc. Ich zeige die lineare Unabhängigkeit: für j= 1 $\begin{eqnarray} \alpha_1 e_1(1) \alpha_2 e_2(1) \alpha_3 e_3(1)... \alpha_n e_n(1) = 0 \end{eqnarray}$ und das gäbe ja $\begin{eqnarray} \alpha_1 e_1(1) = 0 \end{eqnarray}$ da aber e_1(1) = 1 folgt daraus , dass \alpha_1 = 0 und die lineare Unabhängigkeit. Dies kann ich für alle j i\in \mathbb N zeigen und bin damit fertig. Oder? Was bedeutet, dass der Span gerade diejendigen Abbildungen sind, die fast überall Null sind? Ist das nicht einfach e_i mit $\begin{eqnarray} i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} j i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ? also eben <e_1,e_2...,e_n> Habe ich das soweit richtig verstanden bzw. umgesetzt ? Danke für die Hilfe
11.12.2015, 07:34	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit von Abbildungen Hey Kurz vorweg: Es ist gut, dass du LaTeX benutzt, aber bevor du deinen Beitrag abschickst, schau doch noch mal drüber, ob du alles richtig gesetzt hast, weil dein Beitrag sonst ziemlich anstrengend zu lesen ist. Dadurch klicken manche Leute deinen Beitrag vermutlich einfach weg, ohne ihn gelesen zu haben, und du musst länger warten. Zu deiner Aufgabe: An sich hattest du die richtige Idee für die lineare Unabhängigkeit und ich vermute, dass du auch das Richtige meinst, aber du hast es sehr vage und schwammig aufgeschrieben. Was muss aus der Gleichung $\begin{eqnarray} \alpha_1\cdot e_1(1)+\alpha_2\cdot e_2(1)+\ldots = 0 \end{eqnarray}$ zwingend folgen, damit die Abbildungen linear unabhängig sind? (du weißt übrigens nicht, ob $\begin{eqnarray} i \in \{1,2,\ldots,n\} \end{eqnarray}$ , sondern es gilt $\begin{eqnarray} i\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ , d.h. du hast unendlich viele $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ ). Du kennst die Antwort, weil du sie in deine Lösung eingebracht hast, aber explizit hinschreiben solltest du es trotzdem. Du sagst außerdem, dass aus $\begin{eqnarray} \alpha_1\cdot e_1(1) = 0 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \alpha_1 = 0 \end{eqnarray}$ die lineare Unabhängigkeit folgt. Das ist nicht richtig, weil für alle anderen $\begin{eqnarray} \alpha_i \end{eqnarray}$ 's (für alle $\begin{eqnarray} i \not= 1 \end{eqnarray}$ ) ja dann trotzdem gelten könnte, dass $\begin{eqnarray} \alpha_i \not= 0 \end{eqnarray}$ . Aus diesem ersten Schritt folgt nur, dass $\begin{eqnarray} \alpha_1 = 0 \end{eqnarray}$ . Punkt Dass die anderen Terme $\begin{eqnarray} \alpha_i\cdot e_i(1) \end{eqnarray}$ gleich null sind, folgt aus der Definition der Abbildungen $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ und hat nichts mit den Alphas zu tun. Du kannst dann sukzessive weitermachen und auch für $\begin{eqnarray} \alpha_2 \end{eqnarray}$ usw. zeigen, dass sie null sein müssen. Beschreibe das noch ein bisschen genauer, dann bist du fertig. Wie gesagt, du hast die richtige Idee, ist nur zu ungenau aufgeschrieben. Wenn eine Abbildung "fast überall null" ist, dann bedeutet das, dass endlich viele Elemente der Abbildung ungleich null sind und unendlich viele gleich 0. Um zu zeigen, dass die $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ 's die genannten Abbildungen erzeugen, nimm dir eine Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , die an den Stellen $\begin{eqnarray} c_1,\ldots,c_n \end{eqnarray}$ ungleich null sei. Du musst dann zeigen, dass die $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ 's diese Funktion erzeugen. Wie machst du das?

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