Reguläre Operation

11.12.2015, 19:37

Amelie72

Reguläre Operation

Meine Frage:
Hallo, bin das erste mal hier.
Ich habe folgendes Problem:

Ist G eine abelsche Gruppe, die transitiv und treu auf einer Menge M operiert, so ist diese Operation regulär.

wie kann man das, ohne Abbildungen zeigen ?
Wenn ich es mit Abbildungen zeige (also Gruppenoperation, Automorphismus, und dem Gruppenhomomorphismus) (alles einfache Definitionen), so wird das alles zu umständlich. Ich habe erfahren, eine Zeile wäre ausreichend !? Stimmt das

Meine Ideen:
Etwa so:
zu zeigen: der Stabilisator von x ist einelementig, und zwar mit dem neutralen Element e, also: Gm={e}.
Da die Operation treu ist, ist der Schnitt aller Stabilisatoren {e}
Damit ist man fertig.

(braucht man aber die Kommutativität (von G) nicht? und die Transitivität (von der Operation) ?

danke schon mal für eure Hilfe :-)

11.12.2015, 19:51

jester.

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RE: Reguläre Operation
Hallo,

leider sind sowohl die Frage

Zitat:

Original von Amelie72
wie kann man das, ohne Abbildungen zeigen ?
Wenn ich es mit Abbildungen zeige (also Gruppenoperation, Automorphismus, und dem Gruppenhomomorphismus) (alles einfache Definitionen), so wird das alles zu umständlich.

wie auch

Zitat:

zu zeigen: der Stabilisator von x ist einelementig, und zwar mit dem neutralen Element e, also: Gm={e}.
Da die Operation treu ist, ist der Schnitt aller Stabilisatoren {e}
Damit ist man fertig.

unverständlich.

Die eigentliche Aufgabe ist aber nicht schwer zu lösen - man muss jedoch in der Tat die Transitivität der Operation und die Kommutativität der Gruppe ausnutzen.
Eigentlich muss man nur alles ausschreiben, was man hat:
1) Die Operation ist transitiv, also gibt es zu allen $\begin{eqnarray*} m,m' \in M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} gm=m' \end{eqnarray*}$ .
2) Die Operation ist treu, d.h. stabilisiert ein Gruppenelement $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ alle Elemente in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , so ist bereits $\begin{eqnarray*} g=1 \end{eqnarray*}$ .

Was müssen wir zeigen? "regulär" bedeutet "transitiv" und "jeder Stabilisator ist trivial".

Also sei $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in\mathrm{Stab}_G(m) \end{eqnarray*}$ . Wir wollen schlussendlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g=1 \end{eqnarray*}$ . Wir benutzen dazu Eigenschaft 2, also versuchen wir zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ festlässt.
Versuche das mal, indem du $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von Eigenschaft 1 in Beziehung zu $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ setzt.

13.12.2015, 02:18

Amelie72

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RE: Reguläre Operation
Hallo jester, danke für deine Antwort smile

Also ich habe es nun so gemacht :
Wegen der Transitivität gilt: gm=m`
(für alle m,m` aus ...usw.(...) )

Man betrachte den Stabilisator von m`
(, also die Gruppe aller Elemente,die die Mengenelemente aus M stabil lassen).
Dort gilt für alle g die Eigenschaft gm`=m`

Wir setzen nun einfach ein:
gm`=m` <=> g(gm)=(gm)
<=> gm= m

Es folgt also: gm = m = m` = gm`

Rechtsmultiplikation mit dem Inversen von m (oder m` ,das ist egal,da m=m`) , ergibt g=e

13.12.2015, 09:36

jester.

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RE: Reguläre Operation
Das ist leider so nicht richtig, du scheinst einiges noch nicht richtig verstanden zu haben.

Zitat:

Original von Amelie72
Wegen der Transitivität gilt: gm=m`
(für alle m,m` aus ...usw.(...) )

Die Ungenauigkeit, die hier anfängt, bricht dir später das Genick. Du schreibst einfach für jedes Gruppenelement $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ - sowohl für das im Stabilisator von $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ als auch für das, das $\begin{eqnarray*} gm=m' \end{eqnarray*}$ erfüllen soll. Das ist nicht möglich, wenn $\begin{eqnarray*} m\neq m' \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Rechtsmultiplikation mit dem Inversen von m (oder m` ,das ist egal,da m=m`) , ergibt g=e

Hier geht es dann völlig den Bach runter, die Mengenelemente kann man doch nicht invertieren! Ich wüsste nicht, was das bedeuten sollte.

Also, folge der "Anleitung", die ich in meinem ersten Beitrag genannte habe:

Zitat:

1) Die Operation ist transitiv, also gibt es zu allen $\begin{eqnarray*} m,m' \in M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} gm=m' \end{eqnarray*}$ .
2) Die Operation ist treu, d.h. stabilisiert ein Gruppenelement $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ alle Elemente in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , so ist bereits $\begin{eqnarray*} g=1 \end{eqnarray*}$ .

Was müssen wir zeigen? "regulär" bedeutet "transitiv" und "jeder Stabilisator ist trivial".

Also sei $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in\mathrm{Stab}_G(m) \end{eqnarray*}$ . Wir wollen schlussendlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g=1 \end{eqnarray*}$ . Wir benutzen dazu Eigenschaft 2, also versuchen wir zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ festlässt.
Versuche das mal, indem du $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von Eigenschaft 1 in Beziehung zu $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ setzt.

Weil du das selbst eben so vermengt hast: die Buchstaben $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in den Eigenschaften (1) und (2) sind von einander unabhängig.

Wir beginnen in dem Ansatz

Zitat:

Also sei $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in\mathrm{Stab}_G(m) \end{eqnarray*}$ . Wir wollen schlussendlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g=1 \end{eqnarray*}$ . Wir benutzen dazu Eigenschaft 2, also versuchen wir zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ festlässt.

mit einem $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ stabilisiert. Wir wählen $\begin{eqnarray*} m'\in M \end{eqnarray*}$ und wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} gm'=m' \end{eqnarray*}$ .
Nun schreiben wir $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ um. Diese Aufgabe fällt dir zu, eigentlich hast du sie sogar schon gelöst. Dann setzen wir alles zusammen.

13.12.2015, 14:01

Amelie72

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RE: Reguläre Operation
Hallo jester,
danke für deine lehrreichen Tipps. Ich habe wirklich noch einige Lücken im Verständnis. Bei der Aufgabe verstehe ich die Sachen immer mehr und mehr. Ich werde mir später noch weitere Aufgaben anschauen (wenn ich diese hier erst richtig verstanden habe). Also:
Du schreibst man schreibe m` um.
Dies kann man ja als gm darstellen (da gm=m`, transitiv)
Das habe ich ja in meinem letzten Post so gemacht (oder nicht? verwirrt

?)
Damit hat man dann: gm=gm` bzw.m=m`
Genauer heißt das sogar: Gm = Gm`
( je zwei Stabilisatoren sind gleich)
und da nach der Treue ein Stabilisator trivial ist, folgt:
Gm={1}
...
Ich wüsste aber immer noch nicht ob die Kommutativität der Gruppe irgendwo notwendig wäre... unglücklich

13.12.2015, 17:25

jester.

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RE: Reguläre Operation

Zitat:

Original von Amelie72
Du schreibst man schreibe m` um.
Dies kann man ja als gm darstellen (da gm=m`, transitiv)
Das habe ich ja in meinem letzten Post so gemacht (oder nicht? verwirrt

Ja, aber man kann, wie gesagt, nicht $\begin{eqnarray*} m'=gm \end{eqnarray*}$ schreiben, sondern man muss ein anderes Symbol verwenden. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist ja schon in Benutzung. Und die Transitivität liefert uns die Existenz eines $\begin{eqnarray*} h \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} hm=m' \end{eqnarray*}$ - sie sagt nicht, dass $\begin{eqnarray*} g=h \end{eqnarray*}$ . Das wird auch so gut wie nie der Fall sein.

Zitat:

und da nach der Treue ein Stabilisator trivial ist, folgt:
Gm={1}

Noch ein ganz fundamentales Missverständnis. Die Eigenschaft treu zu sein bedeutet, dass wenn ein Gruppenelement $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ alle Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ stabilisiert, so ist $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ .
Nachtrag: Eine übliche Notation für die Bahn von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} Gm \end{eqnarray*}$ . Eine halbwegs verbreitete Notation für den Stabilisator ist $\begin{eqnarray*} G_m \end{eqnarray*}$ . Du musst Latex/den Formeleditor benutzen, wenn du dabei Verwechslungen vermeiden möchtest.

Zitat:

Ich wüsste aber immer noch nicht ob die Kommutativität der Gruppe irgendwo notwendig wäre... unglücklich

Doch, immer noch, das ist notwendig.

Ich habe dir jetzt also den nächsten Schritt vorgesagt. Wir haben uns ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} g\in\mathrm{Stab}_G(m) \end{eqnarray*}$ gewählt. Nun haben wir ein beliebiges $\begin{eqnarray*} m'\in M \end{eqnarray*}$ gewählt, das wir wegen der Transitivität als $\begin{eqnarray*} m'=hm \end{eqnarray*}$ schreiben können. Nun gilt
$\begin{eqnarray*} gm'=g(hm)=(gh)m=...? \end{eqnarray*}$ .

Und das vielleicht noch als allgemeiner Hinweis: Das, was ich im letzten Abschnitt geschrieben habe, ist nicht mehr nur eine Erklärung sondern geht 99% an den Stil heran, in dem du einen solchen Beweis formulieren solltest. Und das nicht, weil es "schönerer Stil" oder Ähnliches ist, sondern weil du dir den Weg zum Verständnis selbst verbaust, wenn du einfach nur eine Symbolschlacht durchführst. Das ist ein fundamentales Fehlverständnis über Mathematik: ein anständiger mathematischer Aufsatz besteht wahrscheinlich zu ca. 90% aus Text, nicht aus irgendwelchen Formeln.

13.12.2015, 19:13

Amelie72

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RE: Reguläre Operation
Jester, ich glaube ich habs...zunächst einmal danke.
Ich weiß deine Ratschläge wirklich sehr zu schätzen und werde sie mir verinnerlichen! Solche Tipps sind nicht nur hier in der Aufgabe wichtig,sondern ganz allgemein! Man muss wirkliche schauen , die gewisse Muße zu finden ,um das (passiv bzw. aktiv) Verstandene zu "festigen" und vor allem, es zu kommunizieren und sauber aufzuschreiben...
Ich werde mir Mühe geben (Übung Übung Übung! smile

)
. Also nun:

Wir haben uns ein m aus M und ein g aus dem Stabilisator Gm gewählt. (g lässt hier m stabil,also gm=m)
Nun wähle man ein beliebiges m` aus M und zeige gm` = m`:
(d.h. g soll auch (ein anderes,beliebiges) m` aus M stabil lassen. Dass aber damit g alle Elemente aus M stabil lässt,impliziert dies g=1. Womit wir fertig wären).

OK,man betrachte nun ein beliebiges m` aus M.
Da die Operation transitiv ist, gibt es ein h aus G mit:
hm=m`. Nun betrachte man die Gruppenwirkung bzw.Operation von g auf m` (beachte: hier ist g speziell aus dem Stabilisator Gm, siehe oben!) :
(Die Schritte wurden nummeriert und stehen ganz unten erklärt)

gm`= g(hm) ...(1)
=(gh)m .........(2)
= (hg)m .........(3)
=h(gm) ..........(4)
= hm ..............(5)
= m` ...............(6)

Also gm`=m`.
g lässt m` stabil
Da m` beliebig war, folgt: g lässt alle Elemente aus M stabil. Aus (2) ,also der Treue, folgt daraus:
g=1.
_____________
(1) da m`=hm
(2) Operation erfüllt das Axiom (Op2),siehe Def.
(3) gh=hg ,G kommutativ!
(4) (Op2) ist erfüllt
(5) g lässt nach Voraussetzung m stabil,also gm=m
(6) hm ist wegen der Transitivität gleich m`

13.12.2015, 19:18

jester.

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Ja, so ist es gut smile

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