Jordansche Normalform einer nilpotenten Matrix mit Hilfe der Dimensionen der Kerne der Potenzen |
12.12.2015, 14:09 | friggonaut | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jordansche Normalform einer nilpotenten Matrix mit Hilfe der Dimensionen der Kerne der Potenzen , , . Geben Sie die Jordansche Normalform zu N an. Mein Lösungsansatz: Ich weiß, dass nilpotente Matrizen nur 0 als Eigenwert haben. Daher hat die gesuchte Jordanmatrix nur Nullen auf der Hauptdiagonalen. Wegen dim(kerN^1) = 3 weiß ich doch, dass die gesuchte Matrix 3 Jordanblöcke enthält, oder? Ich habe mal gehört, dass dim(ker(N^2)) die Größe der Jordanblöcke angibt. Damit hätte ich aber 3 Jordanblöcke der Größe 6x6. Geht das überhaupt? Danke für Eure Hilfe! |
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14.12.2015, 18:17 | friggonaut | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sei J die Jordan'sche Normalform von N. Da N nilpotent ist, stehen auf der Hauptdiagonalen von J nur Nullen, zumal N aufgrund der Nilpotenz nur den Eigenwert 0 hat und auf der Hauptdiagonalen der Jordan'schen Normalform nun mal die Eigenwerte stehen. Es gilt: (I) Das bedeutet auf das obige Beispiel bezogen: Aus und folgt sofort, dass die gesuchte Matrix J genau drei Jordan-Blöcke enthält, die alle mindestens die Größe 2x2 haben. Wegen müssen zwei dieser Blöcke tatsächlich genau die Größe 2x2 haben (da ja nur die Größe eines Blockes größer-gleich 3x3 ist). Da es sich bei J um eine 10x10-Matrix handeln muss, zumal N auch eine 10x10-Matrix ist, und da es zwei 2x2 Blöcke gibt, muss es also noch (gemäß ) einen 6x6-Block geben. Eine mögliche Jordan'sche Normalform von N sieht dann so aus: Die Jordan-Blöcke könnte man vertauschen. ----------------------------------------------- Mich interessiert, warum (I) überhaupt gilt. Weiß das jemand? Für jede Information bin ich sehr dankbar. |
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