Jordansche Normalform einer nilpotenten Matrix mit Hilfe der Dimensionen der Kerne der Potenzen

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friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »
Jordansche Normalform einer nilpotenten Matrix mit Hilfe der Dimensionen der Kerne der Potenzen
Aufgabe: Sei N eine nilpotente 10x10-Matrix mit komplexen Einträgen. Sei
,
,
.
Geben Sie die Jordansche Normalform zu N an.

Mein Lösungsansatz:
Ich weiß, dass nilpotente Matrizen nur 0 als Eigenwert haben. Daher hat die gesuchte Jordanmatrix nur Nullen auf der Hauptdiagonalen. Wegen dim(kerN^1) = 3 weiß ich doch, dass die gesuchte Matrix 3 Jordanblöcke enthält, oder? Ich habe mal gehört, dass dim(ker(N^2)) die Größe der Jordanblöcke angibt. Damit hätte ich aber 3 Jordanblöcke der Größe 6x6. Geht das überhaupt?

Danke für Eure Hilfe!
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Sei J die Jordan'sche Normalform von N.

Da N nilpotent ist, stehen auf der Hauptdiagonalen von J nur Nullen, zumal N aufgrund der Nilpotenz nur den Eigenwert 0 hat und auf der Hauptdiagonalen der Jordan'schen Normalform nun mal die Eigenwerte stehen.

Es gilt:
(I)

Das bedeutet auf das obige Beispiel bezogen:




Aus und folgt sofort, dass die gesuchte Matrix J genau drei Jordan-Blöcke enthält, die alle mindestens die Größe 2x2 haben. Wegen müssen zwei dieser Blöcke tatsächlich genau die Größe 2x2 haben (da ja nur die Größe eines Blockes größer-gleich 3x3 ist).
Da es sich bei J um eine 10x10-Matrix handeln muss, zumal N auch eine 10x10-Matrix ist, und da es zwei 2x2 Blöcke gibt, muss es also noch (gemäß ) einen 6x6-Block geben.

Eine mögliche Jordan'sche Normalform von N sieht dann so aus:



Die Jordan-Blöcke könnte man vertauschen.

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Mich interessiert, warum (I) überhaupt gilt. Weiß das jemand? Für jede Information bin ich sehr dankbar. Freude
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