Vektoralgebra, Geraden, Punkte, rechtwinkliges Dreieck

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Denus Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoralgebra, Geraden, Punkte, rechtwinkliges Dreieck
Meine Frage:
hallo leute,
ich sitze mal wieder zu lange vor einer aufgabe bei der ich einfach nicht weiter komme ich hoffe es kann mir einer helfen smile
zur aufgabe:
gegeben: gerade g durch den punkt P1=(2/1/0) und dem richtungsvektor a=(3/2/1)
ein weiterer punkt P2=(6/9/4) sei auch gegeben.
gesucht: Koorddinaten eines punktes P3 auf der geraden, so dass P1, P2 und P3 die Eckpunkte eines rechtwinkligem dreiecks sind.

Ergebnis: P3=(8/3/4)

Meine Ideen:
Ich habe nicht wirklich eine idee hauptsächlich hab ich im internet und diverse bücher geschaut aber wurde nicht fündig smile

aber versucht hab ichs natürlich: ich hab erstmal die geraden gleichung aufgestellt: g= (2/1/0)+s*(3/1/2),... und hier bin ich schon an meinem ersten problem , kommt P2 auch mit rein? wenn ja wie lautet dann der richtungsvektor?
ist es dann nicht P2-P1?,
sonst habe ich einfach einbischen rumprobiert, ist aber nichts aufregendes bei raus gekommen, ich habe mir überlegt ob ich das nicht in eine gleichung setzen kann da ja vorgeben ist das der winkel zwischen g und p3 90 betragen soll, wie diese allerdings aussehen soll , keine ahnung Big Laugh ich dachte sowas mit cos`1*0=irgendwas*P3/[irgendwas]*[P3]
[] =betrag vom vektor

leider habe ich nur das ergebnis und keinen rechenweg.

Ps. ich erwarte nicht das hier jemand mir die aufgabe auf dem silbertablet vor legt ich wünsche mir nur einen guten und nachvollziebaren rechenansatz,
falls jemand natürlich so gutherzig ist und die aufgabe durchgerechnet hat sage ich natürlich nicht nein :P
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoralgebra, Geraden, Punkte, rechtwinkliges Dreieck
Zitat:
Original von Denus
aber versucht hab ichs natürlich: ich hab erstmal die geraden gleichung aufgestellt: g= (2/1/0)+s*(3/1/2),... und hier bin ich schon an meinem ersten problem , kommt P2 auch mit rein? wenn ja wie lautet dann der richtungsvektor?

Also wenn P1 und P2 auf einer Geraden liegen und P3 nun auch auf der Geraden liegen soll, bleibt die Frage wie genau daraus ein Dreieckentstehen soll.

Also halten wir fest, P1 liegt auf der Geraden, P3 soll dort liegen (was verrät dir das in Bezug auf die Geradengleichung?). P2 liegt offensichtlich außerhalb.



meinst du die Formel? Diese oder auch das Skalarprodukt kann dir hier helfen.

edit: Und wenn ich mich nicht verrechnet habe stimmt die Lösung auch nicht da P3 nicht auf der Geraden liegt.

lg moody
Denus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoralgebra, Geraden, Punkte, rechtwinkliges Dreieck
Zitat:
Original von moody_ds
Zitat:
Original von Denus
aber versucht hab ichs natürlich: ich hab erstmal die geraden gleichung aufgestellt: g= (2/1/0)+s*(3/1/2),... und hier bin ich schon an meinem ersten problem , kommt P2 auch mit rein? wenn ja wie lautet dann der richtungsvektor?

Also wenn P1 und P2 auf einer Geraden liegen und P3 nun auch auf der Geraden liegen soll, bleibt die Frage wie genau daraus ein Dreieckentstehen soll.

Also halten wir fest, P1 liegt auf der Geraden, P3 soll dort liegen (was verrät dir das in Bezug auf die Geradengleichung?). P2 liegt offensichtlich außerhalb.



meinst du die Formel? Diese oder auch das Skalarprodukt kann dir hier helfen.

edit: Und wenn ich mich nicht verrechnet habe stimmt die Lösung auch nicht da P3 nicht auf der Geraden liegt.

lg moody
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Während du offensichtlich noch dabei bist an deiner Antwort zu arbeiten:

Gehe über das Skalarprodukt (wie lautet das für 2 Vektoren die orthogonal zueinander stehen?), ist meiner Meinung nach der einfachere Weg.
Denus Auf diesen Beitrag antworten »

ah tut mir leid mit der antwort ich bin zum ersten mal in einem forum und hab mich verklickt , ich hoffe das ist nicht so schlimm. Big Laugh

P2 liegt außerhalb:

das klingt schonmal logisch , also nicht mit in die geraden gleichung da P2 auch nicht beim aufspannen der gerade mitbeteiligt ist, sozusagen?

ja diese formel allerdings gibt diese ja den winkel zwischen 2 vektoren in diesem Fall wäre es ja der winkel zwischen P1 und P3 was nicht möglich ist da dan kein rechter winkel mehr möglich ist , das heist p3 muss von P1 abstand haben damit P3 orthognal von der gerade zu p2 greifen kann.

abgesehn davon müsste man ja P3 in (x/y/z) hinschreiben und dan widerum ist ein Skalarprodukt nicht möglich?

Das ergbenis stimmt nicht:

eigentlich müsste es stimmen ich habe es nämlich nachgeprüft indem ich es mit der geraden gleichung gleichgesetzt habe:

(8/3/4) = (2/1/0)+ S*(3/1/2)

wen man jetzt jeweils nach S auflöst kommt man immer zum ergebnis S = 2 , das heist ja das es auf der gerade liegt..
Denus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von moody_ds
Während du offensichtlich noch dabei bist an deiner Antwort zu arbeiten:

Gehe über das Skalarprodukt (wie lautet das für 2 Vektoren die orthogonal zueinander stehen?), ist meiner Meinung nach der einfachere Weg.


Ist das nicht das kreuzprodukt ?
 
 
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Denus
ah tut mir leid mit der antwort ich bin zum ersten mal in einem forum und hab mich verklickt , ich hoffe das ist nicht so schlimm. Big Laugh

Kein Problem, wusste nicht ob da noch was kommt Augenzwinkern

Zitat:
Original von Denus
das klingt schonmal logisch , also nicht mit in die geraden gleichung da P2 auch nicht beim aufspannen der gerade mitbeteiligt ist, sozusagen?

Genau, siehe meine Zeichnung.

Zitat:
Original von Denus
ja diese formel allerdings gibt diese ja den winkel zwischen 2 vektoren in diesem Fall wäre es ja der winkel zwischen P1 und P3 was nicht möglich ist da dan kein rechter winkel mehr möglich ist , das heist p3 muss von P1 abstand haben damit P3 orthognal von der gerade zu p2 greifen kann.

Ja wenn er keinen Abstand von P1 hätte und auch auf der Geraden liegt wäre er ja P1. Das stimmt also, ist aber auch keine wahnsinnige Erkenntnis.

Zitat:
Original von Denus
abgesehn davon müsste man ja P3 in (x/y/z) hinschreiben und dan widerum ist ein Skalarprodukt nicht möglich?

Warum wäre das nicht möglich? Weil das ein Vektor ist oder weil dir da zu viele Unbekannte drin sind? Du weißt doch, dass P3 auf der Geraden liegt. Also kannst du für x,y,z ja einen Punkt der Geraden einsetzen.

Zitat:
Original von Denus
(8/3/4) = (2/1/0)+ S*(3/1/2)
wen man jetzt jeweils nach S auflöst kommt man immer zum ergebnis S = 2 , das heist ja das es auf der gerade liegt..

Ich habe gerade an mir selbst gezweifelt.

Lautet der Richtungsvektor nun oder verwirrt

[attach]40113[/attach]
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Denus
Ist das nicht das kreuzprodukt ?

Mit dem Kreuzprodukt kannst du einen Vektor erzeugen der orthogonal zu den anderen beiden steht. Ist das Skalarprodukt von 2 Vektoren 0, stehen diese orthogonal zueinander.
Denus Auf diesen Beitrag antworten »

ach mist sorry richtungsvektor ist (3/1/2)


also irgendwie steh ich auf dem schlauch wie kann ich den einen punkt der auf der gerade liegt bestimmen?


ps danke für die unglaube mühe die du dir machst und tut mir leid für meine unwissenheit ich komm irgendwie nicht mit Hammer

ich versuche es lieber morgen nochmal Big Laugh
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »



Durch Variation von s werden alle Punkte der Geraden durchlaufen. Dieser beliebige Punkt hat die Form

Du möchtest jetzt quasi das s rausfinden welches dir deinen gesuchten Punkt P3 liefert.

Du weißt dass und orthogonal zueinanander stehen müssen.

Das beudetet das Skalarprodukt beider Vektoren ist 0.

Kannst du jetzt etwas damit anfangen?
Denus Auf diesen Beitrag antworten »

hm nicht wirklich ich hab das so verstanden:

P3*P1 : 2x+1y = 0
P2*P3 : 6x+9y+4z=0

wenn ich das jetzt nach x,y,z auflöse bekomm ich aber unschöne zahlen raus, diese oben eingesetzt also:

2+3s = 1/3 -> s = -5/9
1+1s = -2/3 -> s = - 1 / 2/3
0+2s = 1 -> s = 0,5

ist irgendwie auch nicht schön, mach ich was falsch? muss das woanders eingesetzt werden? unglücklich
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Bin erst ab heute Nachmittag wieder am PC. Ganz kurz so viel:

Du musst schon immer dasselbe s raus bekommen. Nachrechnen kann ich leider erst später.

Die Vektoren sind P3-P1 !! Keine Multiplikation! Du sollst den Vektor auf stellen der von P3 z.b. zu P1 führt.
Denus Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm also wäre das dan:

(x-6*x-2)+(y-9*y-1)+(z-4*z-0)=0 oder wie?

damit kann ich genau so wenig anfangen unglücklich
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Denus
hmmm also wäre das dan:

(x-6*x-2)+(y-9*y-1)+(z-4*z-0)=0 oder wie?

damit kann ich genau so wenig anfangen unglücklich


auch irgendwie verwirrt verwirrt



für P2 setze die Geradengleichung und bestimme daraus t
Denus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe


für P2 setze die Geradengleichung und bestimme daraus t



ehm also G : (6/9/4) + t*((2/1/0)-(6/9/4))

was meinst du mit bestimme t?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

oh Lord, liest du deine eigenen Angaben nicht verwirrt



mit dem Geradenparameter t wie (fast) immer üblich, Du kannst ihn natürlich auch anders also q, g, l, mausi ... nennen.
nun klarer?
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du für alle Punkte nun einsetzt und die Vektoren skalar multiplizierst und dies 0 ergeben soll, hast du am Ende nur noch t (oder s oder wie auch immer du das nennen magst) als Unbekannte. 1 Gleichung und 1 Unbekannte ist ja machbar.

Aber was hast du denn jetzt da gemacht?





Also





Nun du den anderen Vektor und dann ausrechen Wink

Animation Abhängigkeit von s
Denus Auf diesen Beitrag antworten »

okey ich glaube jetzt habs ich endlich verstanden

der zweite vektor wäre dem nach:

P1-P3= (2/1/0)-(2/1/0)-s*(3/1/2)

nur noch ein frage warum wird aus dem P3=....+S ein -S ?
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Denus
nur noch ein frage warum wird aus dem P3=....+S ein -S ?

a-(b+c) = a-b-c

oder was meinst du?
Denus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von moody_ds
Zitat:
Original von Denus
nur noch ein frage warum wird aus dem P3=....+S ein -S ?

a-(b+c) = a-b-c

oder was meinst du?


ja genau das mein ich aber jetzt wo du es so hingeschrieben hast wird es natürlich sofort klar warum Big Laugh

ja super somit ist alles klar denke ich, ganz herlichen dank nochmal smile
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