Basis und Linearkombination

14.12.2015, 18:43	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis und Linearkombination Meine Frage: Seien b1 = (1,2); b2 = (3,2) Vektoren in R^2. (1) Zeigen Sie: B := {b1, b2} ist eine Basis von R^2. (2) Seien e1 = (1; 0), e2 = (0; 1) die Standardbasisvektoren von R2. Stellen Sie e1 und e2 als Linearkombinationen von b1 und b2 dar! Meine Ideen: (1) Hier muss ich zeigen, dass b1 und b2 linear unabhängig sind? (2) Hier muss ich quasi zeigen dass ein a,b,x,y Element R gibt sodass e1 = ab1 + bb2 und e2 = xb1 + yb2?
14.12.2015, 18:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis und Linearkombination (1) zu einer Basis gehört mehr als lineare Unabhängigkeit (2) ja
14.12.2015, 18:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau das musst Du (1) beweisen und (2) berechnen.
16.12.2015, 14:23	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
(1) Geht das so?: Vorrausetzung: b1 = (1, 2); b2 = (3, 2) sind Vektoren in R^2. Behauptung: B := {b1; b2} ist eine Basis von R^2. Beweis: Sind b1 und b2 linear unabhängig, dann bilden diese (da dim(R^2) =2) eine Basis von R^2. Angenommen, b1 und b2 wären linear abhängig, dann gäbe es ein k Element von R sodass gilt: (1,2) = k(3,2) 1=k3 und 2=k2 k=1/3 =/= 1 Widerspruch! -> b1 und b2 sind linear unabhängig -> B := {b1; b2} ist eine Basis von R^2 (2)Reicht das? Seien a,b Element von R, dann gilt: e1 = ab1 + bb2 (1,0) =a(1,2) + b(3,2) I 1=a+3b II 0=2a+2b <=> a=-b II in I 1=-b+3b <=> b=1/2 (III) III in I 1=a+3/2 <=> a=-1/2 -> b=1/2 und a=-1/2 Überprüfung: Seien b=1/2 und a=-1/2, dann gilt: e1 = ab1 + bb2 (1,0) =-1/2(1,2) + 1/2(3,2) (1,0) = (-1/2, -1) + (3/2, 1) (1,0) = (1,0) (und das analog auch für e2)
17.12.2015, 19:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja, aber man arbeitet leichter und besser und allgemeinverständlicher mit linearen Gleichungssystemen. $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & \| & 0 \\ 2 & 2 & \| & 0\end{pmatrix} ... \begin{pmatrix} 1 & 0 & \| & 0 \\ 0 & 1 & \| & 0\end{pmatrix}\Leftrightarrow \alpha=\beta=0\Leftrightarrow b_1,b_2 \end{eqnarray}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray} e_1=\alpha b_1+\beta b_2 \Leftrightarrow \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & \| & 1 \\ 2 & 2 & \| & 0\end{pmatrix} ... \begin{pmatrix} 1 & 0 & \| & -\frac 1 2 \\ 0 & 1 & \| & \frac 1 2 \end{pmatrix}\Leftrightarrow \alpha=-\frac 1 2,\beta=\frac 1 2 \end{eqnarray}$ Noch besser ist, mit einem LGS mit mehrfacher rechter Seite zu arbeiten, dann muss man den Gauß-Algorithmus nur ein einziges mal durchführen.

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