Untervektorraum und Komplemente

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Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum und Komplemente
Meine Frage:
(1) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und seien U1,U2 Untervektorraume von V. Zeigen Sie, dass die Summe U1 + U2 ein Untervektorraum von V ist!
(2) Sei nun speziell V = R^3 und U1 = span(v1; v2) mit v1 = (1; 2; 0) und v2 = (0; 1; 0).
Bestimmen Sie zwei verschiedene Komplemente von U1, d.h. finden Sie zwei verschiedene
Untervektorräume U2, U3 von V , so dass U1 geschnitten U2 = U1 geschnitten U3 = {0} und V = U1 +* U2 = U1 +* U3 gilt!

*Plusverknüpfung

Meine Ideen:
(1) Hier soll ich zeigen dass U1+U2 wieder die drei Eigenschaften eines Untervektorraumes hat (also Nichtleere, Vektoraddition abgeschlossen, Skalarmultiplikation abgeschlossen)?
(2) Hier habe ich noch keinen Plan, wie ich vorgehen soll, also wie ich zwei von U1 verschiedene Untervektorräume finden soll sodass gegebene Bedingungen erfüllt sind. Hättet ihr eine Idee oder einen Tipp wie ich anfangen könnte?
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RE: Untervektorraum und Komplemente
(1) Ja
(2) Du kannst v_1, v_2 auf verschiedene Arten zu einer Basis von V ergänzen.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum und Komplemente
(1) Geht das so?
Vorausetzung: V ist ein Vektorraum über einem Körper K und U1,U2 sind Untervektorräume von V.
Behauptung: U1 + U2 ist ein Untervektorraum von V.
Beweis:
Nichtleere
Der Nullvektor ist nach Voraussetzung Element von U1 und U2 also ist er auch Element von U1+U2.
Skalamultiplikation
Seien u1 € U1, u2 € U2, k€K, (u1+u2)€U1+U2 dann gilt:
r*(u1+u2) = (r*u1 + r*u2)€U1+U2
Vektoraddition
Hier haperts noch ... irgendwie komme ich hier nicht weiter ...

(2) Hm, also angenommen ich würde einen dritten Vektor v3 finden sodass v1, v2 und v3 linear unabhängig sind, hätte ich eine Basis von V (in dem Falle des R^3)?
Nun weiß ich noch nicht so recht, wie ich mit der Basis zwei passende Unterräume erzeugen kann.

Laut der Vorausetzung müsste U1 eine Ebene im R^3 sein, und wenn U1 geschnitten U2 = U1 geschnitten U3 = {0} sein soll, müssten diese Ebenen ja parallel verlaufen.

Unter der zweiten Bedingung kann ich mir noch nichts richtig vorstellen.
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RE: Untervektorraum und Komplemente
(1) Dein Beweis zur Skalarmultiplikation ist im Wesentlichen richtig.
Vielleicht klappt es mit der Vektoraddtion, wenn man die Beweisführung zur Skalarmultiplikation genau aufschreibt:
Beh.:Für jedes ist .
Beweis: Es gibt mit
Dann ist und somit

(2) Mit der einen Basis v1,v2,v3 wird das auch nicht gehen. Deshalb sagte ich, dass es mehr Möglichkeiten gibt, zu einer Basis zu kommen.

Zitat:
müssten diese Ebenen ja parallel verlaufen.

Diese Ebenen? Wieso mehrere? Du hast eine Ebene U1 und suchst zwei passende Geraden.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum und Komplemente
Hmmm ... ich hab mich mal an einen Beweis für die Vektoraddition analog zu deinem Beweis für die Skalarmultiplikation gewagt. Passt das, oder habe ich da einen Denkfehler drin?
Behauptung: Für jedes ist .
Beweis: Es gibt und mit und .
Dann ist .
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RE: Untervektorraum und Komplemente
Genau so hatte ich mir das vorgestellt Freude
 
 
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke smile
zu (2)
Ok, ich habe jetzt geschnallt, dass ich für ein Komplement eines zweidimensionalen Unterraumes einen eindimensionalen Unterraum brauche, der diesen nur im Nullpunkt schneidet, also muss ich einen Vektor finden, der zu den beiden gegebenen l.u. ist, was bedeutet, dass ich v1 und v2 einfach zu einer Basis von V ergänzen kann.

Wenn ich also v1 und v2 in eine Matrix schreibe und eine Nullzeile ergänze, dass dann in eine Zeilenstufenform bringe und dann in der Nullzeile so abändere, dass die drei Vektoren dann l.u. sind, dann die "neue" Nullzeile wieder als Vektor abschreibe, müsste ich damit quasi mein Komplement haben, oder?

Also:

Zeilenstufenform schon vorhanden. Nullzeile abändern

Vektor abschreiben:
v3 = (0,0,1)
U2 = span (v3)

Gleichermaßen könnte man doch statt der 1 ein beliebiges x Element K wählen um beliebig viele Komplemente zu finden, also:
v4 = (0,0,2)
U2 = span(v4)
usw. denn die l.u. der Vektoren in der Matrix bleibt dabei unverändert?
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Du sollst zwei verschiedene Komplemente angeben und schreibst doch selbst
Zitat:
U2 = span (v3)
[...] U2 = span(v4)
Augenzwinkern
Bisher hast du also nur ein Komplement angegeben. Du brauchst einen anderen Vektor, der sowohl von v1, v2 und auch noch von v3 unabhängig ist.
Und ehe du jetzt meinst, das ginge im dreidimensionalen Vektorraum gar nicht: Die x-y-Ebene hat die z-Achse als Komplement aber auch die Winkelhalbierende zwischen x- und z-Achse
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