Normalparabel um den Scheitelpunkt drehen

14.12.2015, 23:19

Isabella S.

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Normalparabel um den Scheitelpunkt drehen

Guten Abend

vielleicht könnt ihr mir Helfen

denn ich kann nirgends etwas drüber finden, in allegmeiner Form
ich habe nur das gefunden,

math.stackexchange.com/questions/767631/focus-of-parabola-with-two-tangents

auf Englisch (kann ich nicht lesen) was dem nahe kommt

ich suche die allegemeine Formel einer Normparabel mit den Koordinatenursprung 0|0, die sich in einem Winkel alpha um ihren Koordinatenursprung dreht.

beim Winkel alpha von 0° müsste y=x^2 herauskommen
beim Winkel alpha von 90° müsste y=x^0,5 herauskommen
beim Winkel alpha von 180° müsste y=-(x^2) herauskommen
beim Winkel alpha von 270° müsste y=-(x^0,5) herauskommen

kennt jemand die Formel?

15.12.2015, 10:22

Steffen Bühler

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RE: Normalparabel um den Scheitelpunkt drehen
Zunächst ist so etwas nur als Parametergleichung darstellbar, da es sich ja hier (bis auf die Fälle 0° und 180°) nicht um Funktionen handelt. Für die Normalparabel (0°) ist dann f(t)=t und g(t)=t²:

Eine Drehung mit Winkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ um den Ursprung entspricht ja der Transformation $\begin{align*} i'=i \cos \alpha + j \sin \alpha \end{align*}$ und $\begin{align*} j'=-i \sin \alpha + j \cos \alpha \end{align*}$ .

Für z.B. $\begin{align*} \alpha = 1 \end{align*}$ ergibt sich

Viele Grüße
Steffen

15.12.2015, 14:00

Isabella S.

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JA, vom ausehen her, es müsste 45° sein

es ist aber leider nicht alles zu sehen von der Formel, dadurch lassen sich auch leider die y-Werte nicht bestimmen bei vorgegebenen x-Werten.

... entspricht ja der Transformation ??

15.12.2015, 14:02

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Isabella S.
JA, vom ausehen her, es müsste 45° sein

Nein, der Winkel ist 1, und das sind nicht 45°, sondern...

Zitat:

Original von Isabella S.
es ist aber leider nicht alles zu sehen von der Formel
... entspricht ja der Transformation?

Ja, natürlich. Deswegen hab ich die ja hingeschrieben.

15.12.2015, 14:06

Isabella S.

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- Nein, der Winkel ist 1, und das sind nicht 45°, sondern...

dann sind es 1 rad = 180°/pi

- Ja, natürlich. Deswegen hab ich die ja hingeschrieben.

ist es den keine "komplette" Formel

15.12.2015, 14:09

Steffen Bühler

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Was verstehst Du unter einer kompletten Formel? Falls es etwas von der Art y=f(x) ist, hab ich ja schon geschrieben, dass solche Figuren nicht als Funktionsgraphen dargestellt werden können. Du siehst ja beim unteren Diagramm, dass den meisten x-Werten zwei y-Werte zugeordnet werden. Und damit kann das keine Funktion sein.

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15.12.2015, 14:59

Isabella S.

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in der Art: x^2-y=0
nur das halt noch die Drehung um alpha mit dazu kommt

15.12.2015, 15:06

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Isabella S.
x^2-y=0

Aber das ist nun mal eben eine Funktionsgleichung, umgestellt lautet sie y=x². Jeder x-Wert hat genau einen y-Wert.

Die Parametergleichungen lassen sich nicht auf diese Form bringen, denn sie stellen keine Funktionen dar.

15.12.2015, 18:35

temporary

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an Isabella S. und Steffen Bühler

wie wäre es mit:

x^2 cos^2(w)+sin(w) (y^2 sin(w)-x)-y cos(w) (2 x sin(w)+1) = 0

als abgleich:

wolframalpha.com/input/?i={x^2-y+%3D%3D+0%2C- x+%2B+y^2+%3D%3D+0%2C+x^2+cos^2%2845%C2%B0%29%2Bsin%2845%C2%B0%29+%28y^2+si
n%2845%C2%B0%29-x%29-y+cos%2845%C2%B0%29+%282+x+sin%2845%C2%B0%29%2B1%29+%3D+0}

könnte das, dass sein, das gesucht wurde?

15.12.2015, 20:56

Steffen Bühler

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Es war mir jetzt zu mühsam, das zu entziffern, aber das wird wohl meiner Parametergleichung entsprechen. Wenn ich Isabella richtig verstehe, möchte sie die aber nach y umgestellt haben, und das geht eben nicht.

15.12.2015, 21:59

temporary

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wolframalpha.com
solve[x^2 cos^2(w)+sin(w) (y^2 sin(w)-x)-y cos(w) (2 x sin(w)+1) = 0,y]

y = 1/2 csc^2(w) (sqrt(4 x sin^3(w)+4 x sin(w) cos^2(w)+cos^2(w))+2 x sin(w) cos(w)+cos(w))

geht auch nach x und w sie will nur y

15.12.2015, 22:43

Isabella S.

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Freude

geht das auch für alle Winkel von 0° bis 360° ?

16.12.2015, 08:41

Leopold

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Wollen wir einmal Licht in den geheimnisvollen Ansatz von temporary bringen. Parabeln sind spezielle Quadriken und können daher stets mittels sogenannter quadratischer Formen beschrieben werden.

Gehen wir dazu aus von einem Punkt $\begin{align*} p = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$ und drehen wir ihn um den Ursprung mit dem Winkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ . Der Bildpunkt sei $\begin{align*} p' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \end{align*}$ . Das geht mit einer Drehmatrix:

$\begin{align*} D = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & - \sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} p' = D \cdot p \end{align*}$

Oder besser anders herum:

$\begin{align*} p = D^{-1} \cdot p' \end{align*}$

Diese Gleichung liefert die beiden Zeilen:

$\begin{align*} x = x' \cdot \cos(\alpha) + y' \cdot \sin(\alpha) \end{align*}$

$\begin{align*} y = -x' \cdot \sin(\alpha) + y' \cdot \cos(\alpha) \end{align*}$

Für die Urbildpunkte besteht die Gleichung $\begin{align*} y = x^2 \end{align*}$ . Jetzt setze einfach die beiden Terme für $\begin{align*} x,y \end{align*}$ in den Variablen $\begin{align*} x',y' \end{align*}$ ein und du erhältst die Gleichung für die Punkte der gedrehten Parabel. Im nachhinein kannst du $\begin{align*} x' \end{align*}$ wieder in $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} y' \end{align*}$ in $\begin{align*} y \end{align*}$ umbenennen.

Auf diese Weise erhältst du eine implizite Darstellung für die gedrehte Parabel. Es ist nicht besonders schön, aber möglich, diese Gleichung etwa nach $\begin{align*} y \end{align*}$ aufzulösen, wenn es denn unbedingt sein muß. Denn es handelt sich ja um eine quadratische Gleichung. Das geht also mit der bekannten Lösungsformel. Fasse zum Auflösen $\begin{align*} y \end{align*}$ als Variable und $\begin{align*} x \end{align*}$ als Parameter auf. Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung liefern die zwei Funktionsäste der Parabel.

16.12.2015, 09:22

Steffen Bühler

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Dankeschön für diese Erhellung! Dann gibt es also doch eine geschlossene Formel, sieh mal an. Auf

Zitat:

Original von Leopold
Fasse zum Auflösen $\begin{align*} y \end{align*}$ als Variable und $\begin{align*} x \end{align*}$ als Parameter auf. Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung liefern die zwei Funktionsäste der Parabel.

wäre ich nicht gekommen.

Dann ist alles geklärt, oder, Isabella?

Viele Grüße
Steffen

16.12.2015, 10:44

riwe

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womit eventuell zu klären bleibt, was diese Umformung für w = 0 liefert verwirrt

verwirrt

16.12.2015, 11:43

Leopold

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In den Fällen $\begin{align*} \alpha = 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \alpha = \pi \end{align*}$ (modulo $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ ) ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear in $\begin{align*} y \end{align*}$ . Die Auflösung steht dann sozusagen schon dann. Ansonsten gilt:

$\begin{align*} y = \frac{1}{2 \sin^2(\alpha)} \cdot \left( \cos(\alpha) - 2x \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) \pm \sqrt{\cos^2(\alpha) - 4x \cdot \sin(\alpha)} \right) \end{align*}$

Beispiel: Für $\begin{align*} \alpha = \frac{\pi}{6} = 30^{\circ} \end{align*}$ erhält man $\begin{align*} y = \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot x \pm \sqrt{3-8x} \, , \ \ x \leq \frac{3}{8} \end{align*}$ . Die Randstelle $\begin{align*} x = \frac{3}{8} \end{align*}$ ist die Stelle mit vertikaler Tangente.

16.12.2015, 12:37

riwe

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Zitat:

Original von Isabella S.
Freude

Freude

geht das auch für alle Winkel von 0° bis 360° ?

meine "Bosheit" bezog sich auf diese Frage Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.12.2015, 18:36

Isabella S.

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passt, habe mal alles (die winkel) in wolframalpha.com und Geogebra, musste aber winkel*pi/180 nehmen alles in rad nicht in Grad

es ist mir dabei aufgefallen in Geogebra, wenn man bei einer gekipten Parabel eine Tangete ansetzen möchte oder ein längenstück brauch, brauch man das nicht an der gekipten Parabel tun

man nimmt die Parabel mit x^2-y=0 und zieht einen Keisbogen (r = (x^2+y^2)^0,5) an dem entsprechendem Punkt
zB. bei x=1, die Werte die herauskommen sind mit der gekipten Parabewl identisch

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