Zweimal differenzierbare Funktion

15.12.2015, 18:02	Rimu	Auf diesen Beitrag antworten »
Zweimal differenzierbare Funktion Meine Frage: Guten Abend Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe welche mich seit ein Paar Tagen beschäftigt. Nämlich: Gibt es zweimal differenzierbare Funktionen f,g:IR->IR mit f(x)>g(x) und f''(x)<g''(x) für alle x aus IR? Meine Ideen: Also ich habe mir überlegt, dass h(x):= f(x)-g(x)>0 eine strikt positive Funktion ist und es nicht möglich ist, dass h''(x) eine strikt negative Funktion sein kann. Aber wie ich das zeigen kann, ist mir leider nicht klar.. Vielen Dank für jede Hilfe :-)
15.12.2015, 19:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} h'' \end{align}$ strikt negativ bedeutet, dass $\begin{align} h \end{align}$ streng konkav sein muss. Zunächst mal heißt das, dass $\begin{align} h \end{align}$ nicht konstant sein kann. Es gibt demnach $\begin{align} x_1<x_2 \end{align}$ mit $\begin{align} h(x_1)\neq h(x_2) \end{align}$ . Ist $\begin{align} h(x_1)>0,h(x_2)>0 \end{align}$ , so kann man für $\begin{align} x_3 := x_1 - \frac{h(x_1)}{h(x_2)-h(x_1)}\cdot (x_2-x_1) \end{align}$ den Wert $\begin{align} h(x_3)\leq 0 \end{align}$ nachweisen: $\begin{align} x_3 \end{align}$ ist nämlich die Stelle, wo die Verbindungsgerade von $\begin{align} (x_1,h(x_1)) \end{align}$ und $\begin{align} (x_2,h(x_2)) \end{align}$ die x-Achse schneidet, die Konkavität bedeutet dann, dass $\begin{align} (x_3,h(x_3)) \end{align}$ unter diesem Punkt $\begin{align} (x_3,0) \end{align}$ liegen muss.

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