Ideale/erzeugende Ideale

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a_b_c Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale/erzeugende Ideale
Hallo,

Ich habe ein paar Probleme, Ideale zu verstehen.

(für untere algebraische Strukturen ist Kommutativität nicht vorrausgesetzt)

Ich habe folgende Definition für ein von A erzeugtes Ideal von R:



1. Wie kann man daraus nun ein Ideal basteln? Also als Beispiel: , . Was wäre nun das Ideal? hätte ich jetzt einfach vermutet, allerdings könnte man dann 2+3=5 rechnen und 5 wäre nicht in der Menge -> verletzt geforderte Abgeschlossenheit bzgl. +.

2. Da unterteilt wird in Ideale und erzeugte Ideale: gibt es Ideale, die nicht erzeugt werden können?

3. Was genau ist eine Nebenklasse zum Ideal? Sie ist definiert als:







Nehmen wir mal an, ich hätte als Kongruenzrelation modulo 2, damit gäbe es 2 Restklassen, also und . Hier entspräche . Ist das so richtig? Wie würde das erzeugte Ideal geschrieben werden?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale/erzeugende Ideale
Hallo,
Also erstmal: jedes ideal hat natürlich ein erzeugenden system.
Und zu deinen Beispielen: das ideal mit dem Erzeugnis <2,3> wäre ubrigens wieder
Ganz Z, weil man mit 3-2=1 wieder ganz Z erzeugen kann.
Und die Schnittmenge von den idealen 3Z und 2Z wäre das ideal 6Z, nicht zu verwechseln
Mit dem Erzeugnis von vorhin.
Gruss ollie3
a_b_c Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mir geholfen, danke.

Bleibt nur noch die Nebenklasse zum Ideal und hier ist ja garnicht . Sonst wäre ja auch nach der Idee immer kein Ideal.

Ich weiß nicht, wie man das schreibt, aber es bleiben ja eigentlich nur noch [0] und [1] als Elemente (?) der Menge zurück. Und: usw. Somit sind die Mengen wieder abgeschlossen bezügl. der Operatoren.
Ich weiß jetzt nur noch nicht ganz, wie man angibt, wie ein solches Ideal erzeugt wurde... Selbst wenn ein Ideal, nur noch mit der Menge {0,1} erzeugt werden würde, dann wäre es ja nicht abgeschlossen, wie obriges mit der Kongruenz?
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