Die Diedergruppe und ihre Erzeuger

21.12.2015, 13:23	Samyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Diedergruppe und ihre Erzeuger Hallo, die Diedergruppe hat die Darstellung $\begin{eqnarray} D_n=\langle a,b: a^2=b^2=(ab)^n=1 \rangle. \end{eqnarray}$ Leider habe ich ein paar Probleme aus dieser Darstellung schlau zu werden. Ich habe gelesen, dass die Diedergruppe $\begin{eqnarray} D_n \end{eqnarray}$ insgesamt 2n verschiedene Elemente hat. Wie kann man das beweisen? Ich vermute mal, dass sich die Elemente wie folgt ergeben: 1) $\begin{eqnarray} (ab), (ab)^2,...,(ab)^{n-1} \end{eqnarray}$ (Drehungen) 2) $\begin{eqnarray} (ab)a, (ab)^2 a,...,(ab)^{n-1} a \end{eqnarray}$ (Spiegelungen) 3) $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ Wie kann man jedoch beweisen, dass diese Elemente alle unterschiedlich sind und dass es keine anderen Elemente in der Gruppe gibt? Wuerde mich ueber Hilfe sehr freuen...
27.12.2015, 14:45	Automizer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Samyyy, zunächst einmal ist $\begin{eqnarray} \langle G \mid R\rangle \end{eqnarray}$ keine Darstellung sondern eine Präsentation. Die genau Definition nochmal bei Wiki nachschauen. Es genügt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} D_n =\langle a,ab \rangle \end{eqnarray}$ . Dazu musst du dir klarmachen, dass $\begin{eqnarray} g \in D_n=\langle a,b\mid a^2,b^2,(ab)^n\rangle \, \Longrightarrow \, g=b\prod\limits_{i \in I}(ab) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} g=\prod\limits_{i \in I}(ab)a \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} g=\prod\limits_{i \in I}(ab) \end{eqnarray}$ . Warum folgt dann $\begin{eqnarray} g \in \langle a,ab\rangle \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} D_n=\langle a,ab\rangle \end{eqnarray}$ ? Zeige weiter elementar, dass $\begin{eqnarray} \langle ab \rangle \triangleleft D_n \end{eqnarray}$ . Damit gilt dann $\begin{eqnarray} D_n=\langle a,ab \rangle=\Big\langle \langle a \rangle \cup \langle ab \rangle \Big\rangle=\langle a\rangle \langle ab\rangle. \end{eqnarray}$ Betrachte nun die Mächtigkeit dieses Komplexproduktes und nutze $\begin{eqnarray} a \notin \langle ab \rangle \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »