Probleme bei eigenartiger Verknüpfung im Vektorraum

21.12.2015, 18:07	mathe_ersti_d	Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme bei eigenartiger Verknüpfung im Vektorraum Meine Frage: Hallo zusammen, vor Weihnachten haben wir in unserer LA 1 Vorlesung eine Aufgabe bekommen, welche ich nicht so ganz verstehen kann. [attach]40167[/attach] Beim Beweis, dass $\begin{eqnarray} \bullet \end{eqnarray}$ eine assoziative Verknüpfung ist, habe ich nun schon Probleme. Meine Ideen: Ich habe die Verknüpfung so verstanden, dass sie von den Permutationen von $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ hergeleitet werden. Also: $\begin{eqnarray} (1)(2)(3) \Rightarrow e_1 \bullet e_2 = e_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (123) \Rightarrow e_2 \bullet e_3 = e_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (132) \Rightarrow e_3 \bullet e_1 = e_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (12)(3) \Rightarrow e_2 \bullet e_1 = -e_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (13)(2) \Rightarrow e_3 \bullet e_2 = -e_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (23)(1) \Rightarrow e_1 \bullet e_3 = -e_2 \end{eqnarray}$ Für Assoziativität möchte ich nun zeigen, dass für $\begin{eqnarray} i,j,k \in \{1, 2, 3\} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} (e_i \bullet e_j) \bullet e_k = e_i \bullet (e_j \bullet e_k) \end{eqnarray}$ Dies würde ich nun mit einer Fallunterscheidung beweisen. Hier habe ich aber nun das Problem, dass ich bei der Verknüpfung negative Basen heraus bekommen kann aber ich nicht weiß, wie ich diese wiederum verknüpfen soll. Z. B.: $\begin{eqnarray} <br /> (e_3 \bullet e_2) \bullet e_2 =<br /> -e_1 \bullet e_2 \end{eqnarray}$ Habe ich das alles ganz falsch verstanden?
22.12.2015, 08:39	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme bei eigenartiger Verknüpfung im Vektorraum Betrachte $\begin{eqnarray} -e_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_2 \end{eqnarray}$ als Linearkombination aus den Basisvektoren. Wie dann 2 Vektoren miteinander verknüpft werden, ist dann in der Aufgabe angegeben.
22.12.2015, 14:55	mathe_ersti_d	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme bei eigenartiger Verknüpfung im Vektorraum Vielen Dank! Da hatte ich wohl ein ziemliches Brett vor dem Kopf Die Beweise für alle Eigenschaften sind mit Fallunterscheidungen wohl viel zu umfangreich. Das werde ich irgendwie wohl doch allgemein hinbekommen müssen...

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