Automorphismengruppe bestimmen (allgemein)

22.12.2015, 04:06	Amelie72	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppe bestimmen (allgemein) Meine Frage: Betrachte ein Homomorphismus f:G-->G auf sich. Wenn die Gruppe n Elemente hat, so kann man (permutaiv) n! Abbildungen (Homomorphismen?) von G nach G erklären, von denen einige sogar Automorphismen von G sind und andere nicht. Um die Automorphismen von G zu bestimmen, betrachtet man Abbildungen, die jedem Element ein Element gleicher Ordnung zuordnen. (Denn: bei einem Isomorphismus f (also auch bei einem Automorphismus!) bilden bekanntlich die erzeugenden Elemente auf erzeugende Elemente ab.Heißt: wenn ein erzeugendes Element a von G, schreibe <a>, die Ordnung (beispielsweise) 4 hat, so hat auch das homomorphe Bild f(a) von a die Ordnung 4 (ist das richtig?). Soweit so gut. Ich habe paar Beispielaufgaben auch gelöst, aber bei einer Aufgabe störte mich doch etwas: Bestimme alle Automorphismen der Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks. Meine Ideen: Diese Symmetrigruppe hat 6 Elemente: 3 Drehungen und 3 Spiegelungen {!ich setze hier mal voraus, dass der Leser weiß wie diese Gruppe aussieht!} Jede dieser 3 Spiegelungen ist selbstinvers, heißt: sie haben die Ordnung 2. wir haben also 3 Elemente(!) die untereinander (permutativ) abgebildet werden können.(6 Möglichkeiten). Und die 2 Drehungen haben die Ordnung 3. (d.h.die beiden Elemente kann man untereinander abbilden, 2 Möglichkeiten) ... Wie kann ich nun mit diesen Informationen alle(!) Automorphismen von der Symmetriegruppe genau(!) bestimmen? Muss ich die kleinste Ordnung der Erzeuger betrachten, hier also die von den Spiegelungen? Der Lösung zufolge sollen es genau 6 Automorphismen geben. Aber warum genau 6 und nicht mehr? Allgemein: Inwiefern kann ich aus den Ordnungen der erzeugenden Elemente auf die Anzahl der Automorphismen kommen? Wenn da z.b.(allgemein) die erzeugenden Elemente a und b aus G die Ordnung 3 haben und c,d,e die Ordnung 4 und f,g,h die Ordnung 2, - wie kann man nun aus diesen Ordnungen die Anzahl der Automorphismen bestimmen?
22.12.2015, 11:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Symmetriegruppe des Dreiecks ist die symmetrische Gruppe $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ . Zeige : a) Die Zuordnung $\begin{eqnarray} \varphi:S_3\to Aut(S_3),g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1}) \end{eqnarray}$ ist ein Gruppenhomomorphismus b) $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist injektiv c) $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist surjektiv
22.12.2015, 15:24	Amelie72	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir bitte genau sagen welche Frage du beantwortet hast?
22.12.2015, 18:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast alle deine Fragen . Wenn Du a)-c) bewiesen hast, weißt Du, dass die Symmetriegruppe des Dreiecks ( $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ ) isomorph zur Automorphismengruppe der Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks ( $\begin{eqnarray} Aut(S_3) \end{eqnarray}$ ) ist. Noch ein Hinweis: a) gilt für jede Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , nicht nur für die Gruppe $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \varphi:G\to Aut(G) \end{eqnarray}$ ist ein Homomorphismus von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ in die Gruppe der inneren Automorphismen $\begin{eqnarray} Inn(G)\le Aut(G) \end{eqnarray}$ Die allgemeine Frage kann ich nicht beantworten, ich weiß nicht einmal, ob man sie stellen kann.
22.12.2015, 21:05	Amelie72	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich möchte eigentlich nur anhand der Ordnungen die Anzahl der Automorphismen bestimmen... Was du da geschrieben hast verstehe ich nicht so ganz... Geht dein Geschriebenes darauf hinaus, dass bei einem Gruppen-Isomorphismus die Elementanzahlen gleich sind? Kriegst du so die Anzahl der Automorphismen heraus? Also wenn ich dich richtig verstanden habe meinst du folgendes: Man betrachte die Abbildung K:G-->Aut(G) , () mit K(g) = Kg (wobei Kg die Konjugation ist. Also definiert als Kg:G-->G , mit Kg(x)= gxg`¹ ) (Frage: warum ist die Abbildung oben bei () nicht K:G--> Inn(G) ) Nun sagst du, dass K ein Isomorphismus ist. a) K ist ein Homomorphismus: (Kg•h)(x) (g•h steht im Index) = (gh)x(gh)`¹ = g(hxh`¹)g`¹ = (Kg•Kh)(x) b) und c) komme ich nicht weiter. Evtl bei b) kann man zeigen, dass der Kern trivial ist... Aber Subjektivität? Hmm.. Und ist G überhaupt isomorph zu AutG) ?
23.12.2015, 09:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstverständlich ist das nicht trivial und gilt nicht für beliebige Gruppen. Du hast nach der Automorphismengruppe der Symmetriegruppe des Dreiecks gefragt. Ich behaupte $\begin{eqnarray} Aut(S_3)\cong S_3 \end{eqnarray}$ , Du musst also sehr viel konkreter werden, wenn Du das beweisen willst. Wenn Du es bis Silvester nicht schaffst, findest Du hier einen Beweis : http://www.math.kit.edu/iag3/lehre/einfa...tt3_loesung.pdf
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