Potenzreihendarstellung einer Funktion

22.12.2015, 09:41

forbin

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Potenzreihendarstellung einer Funktion

Hallo,

es soll die Potenzreihenentwicklung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{(1-2x)^{2}} \end{eqnarray*}$ um 0 berechnet werden.
Ich habe mir dazu überlegt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-2x)^{2}} = \frac{1}{1-(4x-4x^{2})} \end{eqnarray*}$
Das kann ich gemäß geometrische Reihe ja auch schreiben als:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \sum\limits_{x=1}^{n} (4x-4x^{2}) = \lim_{x \to \infty} 4 \sum\limits_{x=1}^{n}(x-x^{2}) \end{eqnarray*}$

Aber stimmt der Ansatz denn? verwirrt

verwirrt

Ich meine, wenn ich in der Summe x=0 setze, kommt ja Null als Ergebnis raus. Aber es müsste ja 1 sein.

22.12.2015, 09:49

Matt Eagle

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RE: Potenzreihendarstellung einer Funktion
Ich würde es eher mit dem Cauchyprodukt versuchen.

22.12.2015, 10:28

forbin

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Aber was stimmt an meinem Ansatz nicht?

22.12.2015, 10:49

Matt Eagle

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Dein Ansatz ist ja im Grunde nicht falsch sondern nicht zielführend.

Richtig notiert gelangst Du damit zu:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty 4^n(x-x^2)^n. \end{eqnarray*}$

Das ist aber keine Potenzreihe. Zumindest wird es einigermaßen mühsam daran die Koeffizienten für die Potenzen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu identifizieren.

Dagegen liegt die Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} \frac 1{1-2x} \end{eqnarray*}$ auf der Hand.

Und das verbeleibende Cauchyprodukt ist dann ein Halbzeiler...

22.12.2015, 10:52

forbin

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Aber Cauchyprodukt hatten wir noch nicht in der Vorlesung.
Ich muss also ohne auf die Potenzreihe kommen.

22.12.2015, 11:00

klarsoweit

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Man könnte auch die Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} h(x) := - \frac 1 2 \cdot \frac 1{1-2x} \end{eqnarray*}$ betrachten und dann davon die Ableitung bilden. smile

smile

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22.12.2015, 11:08

Matt Eagle

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Dann eben zu Fuß!

Verifiziere dazu die n-te Ableitung

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\frac{2^n (n+1)!}{(1-2x)^{n+2}}. \end{eqnarray*}$

Und berechne damit die Koeffizienten für die Reihenentwicklung um 0.

22.12.2015, 11:46

forbin

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Wirklich, wir haben auch noch nicht differenziert

22.12.2015, 11:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Matt Eagle
Verifiziere dazu die n-te Ableitung

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\frac{2^n (n+1)!}{(1-2x)^{n+2}}. \end{eqnarray*}$

Und berechne damit die Koeffizienten für die Reihenentwicklung um 0.

Das geht natürlich auch, war aber nicht mein Plan.

Zitat:

Original von forbin
Wirklich, wir haben auch noch nicht differenziert

Hm, wie soll ich das verstehen? Die Potenzreihenentwicklung einer Funktion hat doch zwangsläufig auch was mit ihrer Ableitung zu tun.

22.12.2015, 12:11

forbin

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Wir hatten das Thema noch nicht.

22.12.2015, 12:39

klarsoweit

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Das ist natürlich jetzt eine schwierige Situation. Worauf sollen wir aufbauen?
Da müßtest du jetzt alles, was du über Potenzreihenentwicklung sagen kannst, hier posten. Obendrein auch die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut.
Ansonsten habe ich keine Idee, wie wir dir helfen können. geschockt

geschockt

22.12.2015, 13:35

Matt Eagle

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Du könntest auch einen Koeffizientenvergleich durchführen. (Und dabei ohne Cauchyprodukt und Differentialrechnung auskommen!)

Nimm dazu an, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$ die gewünschte Reihentwicklung sei, d.h.:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-2x)^2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n. \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt es per Koeffizientenvergleich die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Aus obiger Gleichung folgt

$\begin{eqnarray*} 1=(1-2x)^2 \sum_{n=0}^\infty a_nx^n = a_0+(a_1- 4 a_0)x+\sum_{n=2}^\infty (a_n-4(a_{n-1}-a_{n-2})x^n. \end{eqnarray*}$

Also gilt: $\begin{eqnarray*} a_0=1,~a_1=4,~a_n=4(a_{n-1}-a_{n-2}) \end{eqnarray*}$

Aus dieser rekursiven kannst Du nun die explizite Darstellung ermitteln.

22.12.2015, 14:36

forbin

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Das ist die Aufgabe im Wortlaut.

Daher bin ich davon ausgegangen (da |0|<1 ), dass ich die geometrische Reihe zum Einsatz bringen kann.
Ich verstehe aber wirklich nicht, warum mein Ansatz falsch ist.

€dit: $\begin{eqnarray*} 0^{0} \end{eqnarray*}$ ist doch eins Hammer

Hammer

Dann müsste mein Ansatz ja doch richtig sein

22.12.2015, 14:51

klarsoweit

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RE: Potenzreihendarstellung einer Funktion
Nun ja, korrekt müßte dein Ansatz so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-2x)^{2}} = \frac{1}{1-(4x-4x^2)} = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n (4x-4x^2)^k \end{eqnarray*}$

Und wie Matt Eagle schon sagte, ist das nicht die Darstellung einer Potenzreihenentwicklung.

22.12.2015, 17:52

Der forbin

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Hm, stimmt unglücklich

unglücklich

habe ich überhaupt eine Möglichkeit?
Denn mit binomischem Lehrsatz wird es ja auch nicht die gewünschte Form (a_k * ( z^K))?

22.12.2015, 17:58

Matt Eagle

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Insgesamt hast Du doch jetzt schon 4 verschiedene Möglichkeiten(!) mehr oder weniger ausführlich präsentiert bekommen. Einen dieser Wege solltest Du nun einschlagen und wenn's dabei dann irgendwo klemmen sollte, dann können wir weitersehen.

22.12.2015, 19:55

forbin

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Ok.
Also, nach meiner Auffassung kann ich nur mit der geometrischen Reihe arbeiten, da mir die anderen Werkzeuge ja fehlen.
Daher würde ich folgenden Weg beschreiten:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{(1-2x)^{2}} = \frac{1}{1-(4x-4x^{2})} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (4x-4x^{2})^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 4^{n}(x-x^{2})^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 4^{n} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}(-x^{2})^{k} \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass ist nicht die "vorgeschriebene" Form.
Aber eine andere Möglichkeit sehe ich aufgrund meines Wissenstandes nicht...

22.12.2015, 20:17

Matt Eagle

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Aber aus genau diesem Grund hatte ich Dir in meinem Beitrag von 13:35h ja einen alternative Zugang, der ohne den Multiplikationssatz und Differentialrechnung auskommt, gegeben.
Hast Du den nicht gelesen oder nicht verstanden?

22.12.2015, 20:25

forbin

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Nun ja, mir ist es deshalb ein Anliegen dass über die geometrische Reihe zu machen, weil dies der einzige Weg ist, den wir haben.
Wir haben nichts anderes bisher besprochen.
Ich bin dir natürlich dankbar für den Lösungsansatz, auch wenn ich ihn nicht ganz nachvollzogen habe.
Aber das liegt daran, dass ich eben bei dem bleiben wollte/ muss, was wir in der Uni besprochen haben unglücklich

unglücklich

22.12.2015, 20:40

Matt Eagle

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Was genau wird denn in diesem Beitrag genutzt, dass noch nicht bekannt ist?
Elementarer wird das nicht zu machen sein, denn abgesehen vom Rechnen mit Reihen passiert da nix. unglücklich

unglücklich

23.12.2015, 00:56

forbin

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Matt, da hast du recht.
Elementar neu ist es nicht. Ich hatte mich sehr versteift auf die geometrische.
Ich werde es jetzt mit deiner Lösung machen.

Vielen dank dafür smile

smile

23.12.2015, 08:32

klarsoweit

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Insgesamt betrachtet stellt sich trotzdem für mich die Frage nach der Sinnhaftigkeit dieser Aufgabe. Gegebenenfalls könnte es auch eine gute Idee sein, einfach mal den Aufgabensteller zu fragen, welchen Lösungsansatz er beim Stellen der Aufgabe im Blick hatte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.12.2015, 22:01

forbin

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Ich habe mich jetzt mal mit dem Cauchyprodukt auseinadergesetzt.
Aber wie kann mir das hier helfen?
Tut mir leid, ich weiß gerade damit nicht weiter.
Oder anders gefragt: Worauf läuft die Lösung mit Cauchyprodukt hinaus?

27.12.2015, 10:39

klarsoweit

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RE: Potenzreihendarstellung einer Funktion
Du schreibst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-2x)} \end{eqnarray*}$ als geometrische Reihe und quadrierst dann die Reihe, indem du das Cauchyprodukt anwendest. smile

smile

27.12.2015, 21:01

forbin

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Ok, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-2x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(2x)^{n}, |x|<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Muss ich nun $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(2x)^{n} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}(2x)^{n} \end{eqnarray*}$ bilden?

27.12.2015, 21:28

forbin

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Das wäre ja dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}(2x)^{n}\cdot (2x)^{n-k} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}(2x)^{2n-k} \end{eqnarray*}$

28.12.2015, 08:54

klarsoweit

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Da hast du einen Fehler bei der Anwendung der Cauchy-Produktformel gemacht. Korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n} \left((2x)^k \cdot (2x)^{n-k} \right) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}(2x)^n \end{eqnarray*}$ smile

smile

28.12.2015, 16:49

forbin

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Ah ich seh's Freude

Freude

Perfekt.
Das habe ich damit zwar verstanden, aber leider ist das doch noch immer nicht die gewünschte Form, oder? verwirrt

verwirrt

29.12.2015, 08:47

klarsoweit

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Nun ja, du mußt jetzt nur noch einen kleinen Schritt gehen und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}(2x)^n \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.12.2015, 18:33

forbin

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Nun ja, also es ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (2x)^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}(x+x)^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}x^{k}x^{n-k} = \sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}x^{n} \end{eqnarray*}$

Ist mein Ergebnis damit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}x^{n} \end{eqnarray*}$ ?

29.12.2015, 19:13

Matt Eagle

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Die Summanden sind doch vom Laufindex unabhängig!
Du summierst also n+1 mal den gleichen Summanden.

Also gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (2x)^n = (n+1)(2x)^n. \end{eqnarray*}$

29.12.2015, 20:14

forbin

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Natürlich

Hammer

Also ist meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} f(0) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)(2x)^{n} \end{eqnarray*}$

30.12.2015, 08:41

klarsoweit

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Nun ja, eher so: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{(1-2x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)2^n x^n \end{eqnarray*}$

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