Verschoben! Vektor bestimmen, gegeben nur Betrag und Winkel

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Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor bestimmen, gegeben nur Betrag und Winkel
Meine Frage:
Hallo,

ich habe jetzt schon einige Zeit gesucht und herumgerechnet, leider finde ich keinen zufriedenstellenden Ansatz zu folgendem Problem:

Ich habe die Vektoren und , gegeben ist der Betrag || = 2 und || = 3 und der Winkel zwischen beiden
= = 108°

Ich soll im ersten Schritt die beiden Vektoren bestimmen, wobei ich keine weiteren Angaben habe.

Wie berechne ich bei der Aufgabe die Vektoren, bzw. den zweiten Vektor \vec{b}?

Lösung ist für den = 3*

Meine Ideen:
Was ich bisher gemacht oder versucht habe:

Vektor habe ich einfach auf gesetzt.

Anschließend habe ich versucht mittels dem Zusammenhang
und weiterzukommen, jedoch keinen Durchblick bekommen, da die Berechnungen in keine sinnvolle Richtung zeigten...

Weiterhin habe ich versucht über die Projektion eines Vektors weiterzukommen, jedoch auch da hing ich irgendwann fest.

Einzig die erste und dritte Komponente konnte ich dadurch richtig berechnen, die zweite war jedoch falsch,
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens, 3pi/4 ist NICHT 108°
Zweitens sind die beiden Vektoren hinsichtlich ihrer Lage nicht bestimmt, die Beträge und der Winkel alleine genügen nicht.
So war es richtig, einmal den Vektor a zu wählen.
Der Vektor b kann dann als Richtungsvektor einer Geraden angesehen werden, die vom Nullpunkt aus unter einem Winkel von 3pi/4 gegen die positive x-Achse verläuft.
Zuletzt kannst du diesen zuerst normieren und dann auf die Länge 3 bringen.

mY+
Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, da habe ich falsch abgeschrieben... habe mehrere Aufgaben des gleichen Typs, der Bruch ist = 67,5°

Da habe ich 3 Aufgaben gemischt beim schreiben... Der Rest stimmt aber, kann leider nicht editieren!

EDIT: Wie meinst du das?
Zitat:
Original von mYthos
...
Der Vektor b kann dann als Richtungsvektor einer Geraden angesehen werden, die vom Nullpunkt aus unter einem Winkel von 3pi/4 gegen die positive x-Achse verläuft.
...
mY+


Die Richtungswinkel kann ich ja auch nicht berechnen, da ich weder die Komponente von noch einen Richtungswinkel habe??

EDIT 2: Ich glaub ich sollte mal eine Pause machen, hatte gerade mit dem Richtungsvektor was falsch interpretiert, den Richtungswinkel kann ich vergessen... dennoch ist mir die Aussage nicht ganz klar.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich bin bei meiner vorigen Antwort von einem 2-dimensionalen Raum (R2) ausgegangen, in R3 kann man das natürlich von vornherein nicht so machen.
In diesem Fall kannst du dir (für den Vektor b) noch aussuchen, in welcher Ebene die beiden Vektoren liegen.
Andernfalls gibt es noch immer unendlich viele Möglichkeiten bei gleichen Beträgen und gleichem Winkel (!).

Gibt es nicht doch noch weitere Angaben, die du übersehen haben könntest?
Am besten, die Angaben vollständig und im Originaltext posten!
Bei deiner Angabe der Lösung liegen beide Vektoren in der xy-Ebene (z = 0), das ist ja auch nicht unwesentlich!

EDIT:
Bei dieser Annahme kann man das wieder so angehen, wie anfangs beschrieben.
Der Richtungsvektor von b ist dann (1; tan(3pi/8);0), wenn du diesen mit cos(3pi/8) multiplizierst, hast du bereits den Einheitsvektor für den Vektor b.
Ja, zuletzt noch mit 3 multiplizieren, geschafft ist es!

mY+
Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Originaltext ist:

"Die Vektoren und schließen einen Winkel von ein und haben die Beträge | | = 2 und | | = 3.
Bestimmen Sie zunächst zwei solcher Vektoren und ."

Der Rest der Aufgabe spielt glaub ich keine Rolle für die Berechnung, da bei der ersten Aufgabe dieses Typs nicht mehr verlangt war, ich schreibe es aber trotzdem mal hin:

"Bestimmen sie dann den reelle Parameter so das die Vektoren = + * und = - * ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks."


EDIT:

Wie kommst du auf den Richtungsvektor von
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, wenn nur verlangt ist, 2 solche (beliebige!) Vektoren zu bestimmen, kann man so vorgehen, wie beschrieben.
Beide Vektoren liegen also in der xy-Ebene (bei beiden ist z = 0), somit behandeln wir dies wie ein Problem in R2.

Sieh dazu, was ich im EDIT des vorigen Beitrages noch nachgetragen habe!

mY+
 
 
Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass es vlt. nur in diesem Fall im liegt, gibt es vlt. einen allgemeinen Ansatz im oder ist das nur bei ersterem Möglich?

Falls das ganze einen trigonometrischen Zusammenhang hat, werde ich mich vorher noch dort etwas intensiver einlesen - das Thema kommt später ja auch noch.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der allgemeine Ansatz ist in etwa der, den du schon im ersten Post beschrieben hast.
Damit kann man die in Frage kommende Lösungsmenge schon mal eingrenzen, aber diese ist natürlich dann immer noch unendlich.

Also:

|a| = 2, |b| = 3, Winkel (a,b) = 67,5°

Damit liegen 3 Gleichungen in 6 Unbekannten (d.s. die Komponenten der beiden Vektoren) vor.
Mit dem Kreuzprodukt gewinnnt man keine neuen (unabhängige) Beziehungen.

mY+
Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also das was ich schon versucht habe. Das heißt also es würde ohne weitere Angabe nicht möglich sein im 3-dimensionalen, oder?

Was ich jetzt noch wissen müsste, wie kommst du auf den Vektor
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

R2:
Die Steigung m der Geraden ist der des Winkels, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt.
Der entsprechende Richtungsvektor heisst dann (1; m), das kannst du dir mittels des Steigungsdreieckes leicht veranschaulichen!
Da dieser Vektor (noch) NICHT die Länge 1 hat, multiplizierst du ihn mit dem Cos des Winkels. Die beiden Komponenten cos / sin bestimmen jetzt - wegen des trigonometrischen Pythagoras* - die Länge 1 des neuen Vektors.

(*)

mY+
Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Hilfe, werde morgen die Aufgaben erneut rechnen, mit dem Ansatz werde ich es aber hinbekommen Freude

EDIT: Werde die Lösung, sollte ich es morgen hinbekommen hier posten, falls jemand mal das gleiche Problem haben sollte.

mfg Hell
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch eine Grafik der Sachlage:

[attach]40199[/attach]

mY+
Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hab mich jetzt mal etwas mit dem Tangens beschäftigt, leider bin ich noch nicht so weit, es richtig verstanden zu haben - da meine Literatur das Thema mit der einfachen Beziehung

= und damit logischerweise den arctan = abhandelt, allerdings den vektoriellen Zusammenhang nicht aufzeigt.

wenn man z.B den Vektor hat und den Winkel gegeben hat, - Länge wäre bei der einfach halt halber = 2

Wie geh ich dann vor? Der Tangens wäre ja = - 1,73205 bzw.
die Komponenten muss ich ja noch berechnen - da der Winkel ja mehr oder weniger "eindimensional" ist(wenn das Wort daür ricghtig ist), kann ich ja = 0 setzen.

Jedoch was mach ich bei und ?

ist ev. mir noch schlüssig, da es keine Rolle bei Winkel selbst spielt, kann ich die Komponente so legen, wie ich es will? Also z.B. auf 1 oder vlt. 2? Da bin ich mir etwas unsicher, da ich es intuitiv gemacht habe. Der Winkel ist in dem Fall auch negativ, muss ich da auch etwas berücksichtigen?

So, jetzt komme ich aber dann zum Problem... = ?
Es dürfte(behaupte ich jetzt einfach mal) ja nicht nur in dem einen Beispiel, sondern immer die Steigung m, also allgemeingültig sein - somit also = m

m ist wie oben schon geschrieben = müsste also sein?

Dann hätte ich laut deinem vorgehen in (1; m) ja die Komponenten

Zumindest die Länge stimmt, auch wenn ich nicht weiß warum verwirrt Hammer wie verhält es sich damit? Was wäre wenn ich die Beträge nicht beide = 2 sondern unterschiedlich gewählt hätte...

Steh jetzt nicht mehr ganz auf dem Schlauch, aber die paar Tropfen die bisher durchkommen, reichen leider noch nicht.
Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Fehler, den ich nicht mehr editieren kann... bei dem Vektor müsste stehen...

EDIT: Um die Probe zu machen, hab ich versucht den Winkel wieder auszurechnen, jedoch... bekomme ich nicht den gleichen Winkel haraus... der Winkel von = 120°, bei meinem Vektor komme ich jedoch nur auf 60°...

Aus Spaß habe ich dann ein Vorzeichen(die Wurzel spielt ja für die Berechnung keine Rolle) geändert, also statt ist es jetzt und siehe da... der Winkel ist jetzt richtig LOL Hammer Hammer Hilfe
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dir zunächst das Kapitel über Winkelfunktionen genauer vornehmen.
Das fängt mit den Definitionen an, geht über die Darstellung am Einheitskreis, deren Graphen und endet letztendlich über die Zusammenhänge und Anwendungen.
Dir fehlen entscheidende Kenntnisse, ohne die das Verständnis der Aufgabe kaum möglich ist.
-----------
Der tan(60°) und tan(120°) unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.
Das liegt daran, da der Tangens im 2. Quadranten negativ wird und die Beziehung tan (180° - x) = -tan (x) gilt.

In der vorangegangen Aufgabe war der Winkel NICHT 60°, sondern 67,5°, gemäß dem Wert im Bogenmaß.
In der Grafik ist dies auch vermerkt; die Steigung der Geraden, die durch den Vektor b bestimmt ist, lautet eben .
Das sind wiederum Grundlagen, die von der Analysis bzw. analytischen Geometrie her bekannt sein müssten.
Es ist NICHT m = b2, sondern m = b2/b1; m = b2 gilt daher nur dann, wenn b1 = 1
So sieht es in R3 aus, die besondere Lage erlaubt die Berechnungen analog in R2

[attach]40213[/attach]

mY+
Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe mich gestern, da es mich nicht losgelassen hat, noch etwas damit beschäftigt, konnte auch die Aufgaben nach einigen umständlichen Überlegungen lösen, das die zweite Komponente nicht immer = m ist habe ich recht schnell herausgefunden. Wenn ich jetzt nicht wieder einen Fehler gemacht habe, ist ja und wenn ich z.B. für herausbekomme, hätte ich ja den Vektor für und somit einem Punkt im Verhältnis 1 zu 1. Analog konnte ich das jetzt zumindest auch auf andere Winkel übertragen, ohne das am Ende das Ergebnis falsch wurde.

Ich habe mir auf dein Anraten jetzt etwas die Winkelfunktionen angesehen und die Defintion am Einheitskreis; Trigonometrie war und ist vermutlich immernoch nicht so recht mein Lieblingsgebiet, auch wenn es bei meinem Studiengang fast allgegenwärtig ist^^ Werde mir nach den Ferien aber erst eine Laktüre mit dem Theam besorgen können, da die meisten Erklärungen im Internet sehr einfach gehalten sind und kaum nennenswert neues darin gestanden hatte.

Soooo...
Mein momentan letztes Problem, dann kann ich hoffentlich dieses Teilgebiet erstmal wieder beiseite legen ist bei bestimmten Variationen des Winkels.

Bei den meisten Aufgaben hatte ich einen Winkel der kleiner ist als 180°, was wäre aber bei dem Fall das der Winkel zwischen zwei Vektoren z.B 225° wäre, also zwischen 180° und 270° oder 270° und 360° liegt

Der Tangens ist wie bei 45° =1 =225° , jedoch habe ich hier ja keine positiven sondern negativen Verlauf,wobei mir schon klar ist das falls es daran liegen sollte.

Meiner jetzige Erkenntnis nach würde ich sagen, dass dies eine einfache Anpassung ist, die ich immer selbst machen muss, je nachdem welchen Winkel ich habe müsste ich also dem Quadranten ensprechend die Vorzeichen anpassen auf
Quadrant I ; Quadrant II ; Quadrant III ; Quadrant IV

Leider ist meine Annahme nicht ganz oder völlig falsch, habe bei einer entsprechenden Aufgabe zwar den Richtigen Winkel errechnen können, jedoch war der Vektor falsch...

Aufgabeninfos:

und den Winkel von 225°

Was ich gemacht habe:

kann ich ja setzten... und der also entspricht dem tan von 45°

Aber jetzt würde ich nurnoch versuchen, was zumindest hier nicht gerade zielfrührend ist - mein Ergebnis zumindest ist falsch...

Hoffe ich nerve nicht damit... unglücklich

EDIT: Falls es eine Quelle gibt, die meine Problematik erklärt, würde es mir ev. auch schon helfen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir den Verlauf des Tangens innerhalb der (ersten) 4 Quadranten ansiehst, bemerkst du, dass der Tangens auch im 3. Quadranten positiv ist.
Denn die Periodenlänge des Tangens ist - im Gegensatz zu der des Sinus oder Cosinus - (180°)

Also hat der Winkel 225° denselben Tangenswert wie der Winkel 45° und auch die Steigung der Geraden beträgt wiederum +1
Dennoch zeigt der Vektor natürlich nicht in den 1. Quadranten, sondern in den dritten (er ist nunmehr entgegengesetzt orientiert),
weil dessen beide Komponenten, bzw. Sinus- UND Cosinuswert negativ sind (!)
Du solltest schon imstande sein, den Vektor aus seinen Komponenten richtig darzustellen.

Der Winkel 225° wird von der positiven x-Achse aus (bzw. im positiven Umlaufsinn - gegen den Uhrzeiger - von a nach b) gemessen.
Gleichbedeutend ist es, wenn der (negative) Winkel -135° (wiederum von a aus) im negativen Umlaufsinn (im Uhrzeigersinn) aufgetragen wird, wir kommen damit zu demselben Vektor.

[attach]40219[/attach]

mY+
Hell90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

danke für die Darstellungen, habe es denke ich fast komplett verstanden - hatte leider bei meinen Klausuraufgaben immer nur die Lösung und keine (zumindest groben) Lösungsschritte weshalb es manchmal für nach mehr Irritation sorgte, da plötzlich scheinbar unsinnige Werte rauskamen, selbst die Probe mit der Lösung schien erst falsch, da beim Rückwärtsrechnen statt 225° der Wert 135° herauskam. Auf den einfachen Gedankengang, es handele sich hierbei um den kleineren Winkel, bin ich vor lauter komplizierter Gedanken nicht gekommen...

Mfg Hell
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