Massenbestimmung einer Kugel mit nicht-konstanter Dichte

27.12.2015, 15:08

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

Massenbestimmung einer Kugel mit nicht-konstanter Dichte

Meine Frage:
Hey Leute!
Ich muss folgende Aufgabe lösen, komm aber nicht weiter bzw. habe irgendwo einen Denkfehler drin:
Gegeben ist eine Halbkugel mit den Kugelkoordinaten r, phi und theta. Die Dichte dieser Kugel ist aus eine Graphen zu bestimmen, wobei $\begin{eqnarray*} \rho(z) = (1+z/R) * \rho_0 \end{eqnarray*}$ die Funktion ist die ich sehe.

Meine Ideen:
Meine Idee war nun, die Masse über die Integration der Dichtenfunktion $\begin{eqnarray*} \rho(z) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, also
$\begin{eqnarray*} \int_{V} \! \rho(z) \, dV \end{eqnarray*}$
oder ein Kugelkoordinaten
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \! (1+z/R)*\rho_0 \, r^2*sin(\theta)dr d\phi d\theta \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich das alerdings integriere bekomme ich laut CAS und Handrechnung $\begin{eqnarray*} -1/6*R^3*\rho_o-1/6*\rho_o*R^2*z \end{eqnarray*}$ .
Das entspricht aber nicht dem gegebenen Kontroll Ergebnis. Da meine Handrechnung mit dem CAS übereinstimmt, muss ein Fehler im Ansatz liegen.Die Transformation $\begin{eqnarray*} z = r*cos(\phi) \end{eqnarray*}$ bringt mir irgendwie auch nichts. Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank
Rossi smile

smile

27.12.2015, 15:22

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Massenbestimmung einer Kugel mit nicht-konstanter Dichte
Meinst du $\begin{eqnarray*} z = r*cos(\theta) \end{eqnarray*}$ ?

27.12.2015, 15:23

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja, da hab ich mich wohl verschrieben, vielen Dank. smile

smile

27.12.2015, 15:48

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerechnet hast du mit $\begin{eqnarray*} z = r*cos(\theta) \end{eqnarray*}$ ?
Edit: und warum steht in deinem Ergebnis überhaupt noch ein z ? verwirrt

verwirrt

Edit2 Und das Integral über phi sollte einen Faktor 2pi liefern.
Du wirst wohl deine Rechnung aufschreiben müssen, so wird das nix.

06.01.2016, 15:39

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, hab wohl etwas durcheinander geschrieben.
ich habe 2 rechnungen gemacht: einmal mit $\begin{eqnarray*} z=r*cos(\theta) \end{eqnarray*}$ und einmal ohne.
zuerst die MIT:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \! (1+\frac{r*cos(\theta)}{R})*\rho_0 \, r^2*sin(\theta)dr d\phi d\theta \end{eqnarray*}$
Integral von 0 bis R aufgelöst und $\begin{eqnarray*} \rho_o \end{eqnarray*}$ rausgezogen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\rho_0}{2} *\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \! r^3/3*sin(\theta)+r^3/4 * sin(\theta) * cos(\theta) d\phi d\theta \end{eqnarray*}$
Dann das zweite Integral aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} \frac{\rho_0}{2} *\int_{0}^{\pi/2} \! r^3/3*sin(\theta)+r^3/4 * sin(\theta) * cos(\theta) d\theta \end{eqnarray*}$
Und dann das letzte Integral:
$\begin{eqnarray*} \frac{-\rho_o*R^3}{6} \end{eqnarray*}$
Das ist dann auch das Ergebnis was mir mein CAS ausspuckt.
Das Kontrollergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{11}{24}*R^3*\pi*\rho_0 \end{eqnarray*}$ .
Inzwischen ist mir klar woher das Pi kommt, der Vorfaktor ist mir allerdings immernoch ein Rätsel.
Kann es sein, dass ich meine Integrationsgrenzen bzw. Faktoren am Ende des Integrals ändern muss? Die Dichte der Halbkugel nimmt ja nicht radial zu/ab, sondern sie hängt wie gesagt von der z koordinate ab.

Dangeschön
Rossi

P.S. Sorry, dass es solange gedauert hat, brauchte Ersatz fü rmein Laptop. traurig

traurig

06.01.2016, 15:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von rossingiol
Integral von 0 bis R aufgelöst und $\begin{eqnarray*} \rho_o \end{eqnarray*}$ rausgezogen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\rho_0}{2} *\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \! r^3/3*sin(\theta)+r^3/4 * sin(\theta) * cos(\theta) d\phi d\theta \end{eqnarray*}$

Hm. Für meine Begriffe müßte es hier $\begin{eqnarray*} \rho_0 \cdot \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \! \left(\frac 1 3 R^3 \cdot sin(\theta) + \frac 1 4 R^3 \cdot sin(\theta) \cdot cos(\theta) \right) ~ d\phi d\theta \end{eqnarray*}$ heißen.

Anzeige

06.01.2016, 16:06

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das stimmt. Trotzdem wurmt es mich, dass bei meiner CAS Rechnung nicht das richtige Ergebnis rauskommt.
Für mich heißt das, dass mein Ansatz falsch sein muss. Vielleicht hilft die Aufgabenstellung ja...
[attach]40374[/attach]

06.01.2016, 16:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von rossingiol
Das Kontrollergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{11}{24}*R^3*\pi*\rho_0 \end{eqnarray*}$ .

Meiner Meinung nach ist das richtige Ergebnis $\begin{align*} \frac{11}{12}\cdot R^3\cdot \pi\cdot \rho_0 \end{align*}$ .

Der von dir angegebene Wert ist schon einer einfachen Überlegung nach unplausibel niedrig: Die Dichte in der Halbkugel ist überall $\begin{align*} \geq \rho_0 \end{align*}$ , also muss die Masse mindestens gleich der Masse einer Halbkugel mit der konstanten Dichte $\begin{align*} \rho_0 \end{align*}$ sein, d.h.

$\begin{align*} m\geq \frac{2}{3}\cdot R^3\cdot \pi\cdot \rho_0 \end{align*}$ .

Tja, $\begin{align*} \frac{11}{12} > \frac{2}{3} > \frac{11}{24} \end{align*}$ ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.01.2016, 16:24

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist schon bewusst, dass Mein Ergebnis nicht stimmen kann. :P
Ich würde aber gerne wissen, wie ich auf ein richtiges Ergebnis komme, bzw. wie ich den Ansatz richtige wähle... die Vorgehensweise ist mir klar. verwirrt

verwirrt

Gruß
Rossi

06.01.2016, 16:36

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte angenommen, mit "Kontrollergebnis" meinst du ein dir anderweitig bekanntes "richtiges" Ergebnis der Aufgabe.

Der Faktor $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ , der in der zweiten Zeile deiner Rechnung unerklärlich vor dem Integral auftaucht, ist jedenfalls ursächlich verantwortlich für diese Abweichung.

06.01.2016, 16:51

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir schreiben gerade etwas aneinander vorbei glaube ich.
Das kontrollergenis ist das richtige Ergenis für die Integration der Massenfunktion über die Halbkugel.
Woher die 1/2 kommen seh ich jetzt grad nicht, allerdings sind die ja auch nicht verantwortlich dafür, dass ich anstatt $\begin{eqnarray*} \frac{11}{24}*R^3*\pi*\rho_0 \end{eqnarray*}$ das hier $\begin{eqnarray*} \frac{-\rho_o*R^3}{6} \end{eqnarray*}$ erhalte.

06.01.2016, 17:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von rossingiol
Das kontrollergenis ist das richtige Ergenis für die Integration der Massenfunktion über die Halbkugel.

Anscheinend schreiben wir wirklich aneinander vorbei, denn ich hatte oben doch m.E. überzeugend über den Vergleich mit der Konstante-Dichte-Halbkugel nachgewiesen, dass dein sogenanntes Kontrollergebnis nicht stimmen kann.

Ansonsten sehe ich nur noch hier eine Ursache für diese Ungereimtheit:

Zitat:

Original von rossingiol
Die Dichte dieser Kugel ist aus eine Graphen zu bestimmen, wobei $\begin{eqnarray*} \rho(z) = (1+z/R) * \rho_0 \end{eqnarray*}$ die Funktion ist die ich sehe.

D.h., deine aufgestellte Dichtefunktion passt nicht zu dem Graphen (den wir hier leider nicht kennen).

06.01.2016, 17:50

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Verlauf der Dichte ist rechts neben der Kugel zu sehen (s.o.). Dein Vergleich passt nicht zu der Aufgabe, da die Dichte in der Gesamten Kugel $\begin{eqnarray*} \leq \rho_o \end{eqnarray*}$ ist...Das schein ich falsch aufgestellt zu haben.
Die Funktion der Dichte müsste $\begin{eqnarray*} \rho(z) = \frac{\rho_0}{2}*(1+\frac{z}{R}) \end{eqnarray*}$ . Richtig?
Und die muss ich nun über das Volumen der Halbkugel integrieren. In Kugelkoordinaten also:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \! \rho_0(z) \, r^2*sin(\theta)dr d\phi d\theta \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ der Kippwinkel vom Pol und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ der Azimuth ist.

06.01.2016, 17:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von rossingiol
Also der Verlauf der Dichte ist rechts neben der Kugel zu sehen (s.o.).

Upps, ich hatte nur im Eröffnungsposting geschaut und nicht realisiert, dass weiter unten noch diese Info kommt.

Zitat:

Original von rossingiol
Die Funktion der Dichte müsste $\begin{eqnarray*} \rho(z) = \frac{\rho_0}{2}*(1+\frac{z}{R}) \end{eqnarray*}$ . Richtig?

Freude

Jetzt macht das ganze Sinn, und wir können uns wieder dem Integral widmen.

Tipp: Die $\begin{align*} \theta \end{align*}$ -Integration wird einfacher, wenn du das gemäß Additionstheorem gültige $\begin{align*} \sin(\theta)\cdot \cos(\theta) = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \end{align*}$ nutzt.

06.01.2016, 19:15

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

hum. Sieht so aus als sei ich tatsächlich zu doof dafür.
Einen Schritt nach dem anderen... Forum Kloppe

Forum Kloppe

Erste Integration:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{R} \! \frac{\rho_o}{2}*(1+\frac{r*cos(\theta)}{R})*r^2*sin(\theta) \, dr \end{eqnarray*}$

Davon die Stammfunktion ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\rho_o}{2}*(r+\frac{r^2*cos(\theta}{2*R})*\frac{r^3}{3}*sin(\theta) \end{eqnarray*}$

Richtig?

06.01.2016, 19:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das sah doch oben schon mal besser aus. Multipliziere das $\begin{align*} r^2 \end{align*}$ mit in die Klammer und integriere erst dann!

Die von dir hier anscheinend praktizierte Integration

$\begin{align*} \int f(x) ~ \dd x = F(x),\quad \int g(x) ~ \dd x = G(x) \quad \stackrel{???}{\Longrightarrow}\quad \int f(x)g(x) ~ \dd x = F(x)G(x) \end{align*}$

ist grottenfalsch, sowas vergiss mal ganz schnell. unglücklich

unglücklich

06.01.2016, 21:15

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

ok...

Freude

ich glaube ich komme der Sache näher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \! (1+\frac{r*cos(\theta)}{R})*\frac {\rho_o}{2} \, r^2*sin(\theta)dr d\phi d\theta \end{eqnarray*}$

wird durch ausmultiplizieren und Integrieren zu

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \! \frac{\rho_o}{2} *(1/3*R^3*sin(\theta)+1/4*R^3*1/2*sin(2*\theta) d\phi d\theta \end{eqnarray*}$ .

Das wird dann durch auflösen des 2ten Integrals und durch rausziehen der Konstanten zu

$\begin{eqnarray*} \frac{\rho_o}{2}*2*\pi*R^3*7/12 \int_{0}^{\pi/2} sin(\theta)+1/2*sin(2*\theta) d\theta \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet ergibt das auf dem Papier dann

$\begin{eqnarray*} -\rho_o*\pi*R^3*7/12 \end{eqnarray*}$

ergibt, da

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} sin(\theta)+1/2*sin(2*\theta) d\theta \end{eqnarray*}$

integriert ja -1 ergibt.
Ich merke schon, wie ich der Sache näher komme. Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

06.01.2016, 21:38

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

ups das 7/12 oben stimmt auf jeden fall nicht.
Korrektur:

$\begin{eqnarray*} \frac{\rho_o}{2}*2*\pi*R^3*\int_{0}^{\pi/2} 1/3sin(\theta)+1/8*sin(2*\theta) d\theta \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet ergibt das auf dem Papier dann

$\begin{eqnarray*} \rho_o*\pi*R^3*(-1/3 -1/16+1/64) \end{eqnarray*}$

Stimmt zwar immernoch nicht, aber wird besser.

06.01.2016, 21:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von rossingiol
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \! \frac{\rho_o}{2} *(1/3*R^3*sin(\theta)+1/4*R^3*1/2*sin(2*\theta) d\phi d\theta \end{eqnarray*}$ .

Bis hierhin sieht's ja noch gut aus. Was du dann machst, ist mir etwas schleierhaft. Ich würde erstmal die $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -Integration durchziehen (Wert $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ) und ein paar weitere Faktoren ausklammern

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{24} \rho_o R^3 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (8\sin(\theta)+3\sin(2\theta)) ~\dd\theta \end{eqnarray*}$

EDIT: Upps, da war ich wohl etwas lange weg, inzwischen sieht der Anfang von deinem letzten Beitrag ja so ähnlich aus.

Zitat:

Original von rossingiol
Ausgerechnet ergibt das auf dem Papier dann

$\begin{eqnarray*} \rho_o*\pi*R^3*(-1/3 -1/16+1/64) \end{eqnarray*}$

Na wohl eher

$\begin{eqnarray*} \rho_o*\pi*R^3*(-1/3*0 -1/16*(-1)-(-1/3*1-1/16*1)) \end{eqnarray*}$ .

06.01.2016, 22:21

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von rossingiol
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\pi} \! \frac{\rho_o}{2} *(1/3*R^3*sin(\theta)+1/4*R^3*1/2*sin(2*\theta) d\phi d\theta \end{eqnarray*}$ .

Bis hierhin sieht's ja noch gut aus. Was du dann machst, ist mir etwas schleierhaft. Ich würde erstmal die $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -Integration durchziehen (Wert $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ) und ein paar weitere Faktoren ausklammern

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{24} \rho_o R^3 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (8\sin(\theta)+3\sin(2\theta)) ~\dd\theta \end{eqnarray*}$

Wie kommst du hier auf den vorfaktor 1/24 bzw. auf die 8*sin und 3* sin?

EDIT: Nevermind. Du hast einfach 1/24 ausgeklammert. geschockt

geschockt

06.01.2016, 22:31

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Und
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{24} \rho_o R^3 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (8\sin(\theta)+3\sin(2\theta)) ~\dd\theta \end{eqnarray*}$

von 0 bis Pi/2 integriert gibt 11 und dann passt der Vorfaktor! Gott

Gott

Gott

Gott

Danke für die Geduld Hal! Du hast mir echt den Abend gerettet!!!
Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

06.01.2016, 22:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit deinem Integral hätte es auch gepasst (siehe die von mir ergänzte Rechnung). Ich nehme an, irgendwelche verdaddelten Vorzeichen hatten das bisher bei dir verhindert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.01.2016, 22:37

rossingiol

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das Integrieren ist bei mir zwar schon länger her, aber dass ich das gleich so verkack hätte ich nicht gedacht. *facepalm*

Vielen vielen Danke und nen schönen Abend noch. smile

smile

)

Gruß
Rossi

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »