Eine etwas komplexere Differentiation

27.12.2015, 19:25

jDave

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Eine etwas komplexere Differentiation

Meine Frage:
Hey Leute habe folgendes Problem:

Aufgabe lautet: Zeigen Sie durch Differentiation, dass $\begin{eqnarray*} F(X) = \frac{1}{2} *(x*\sqrt{4-x^{2} } +4*arcsin(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{4-x^{2} } \end{eqnarray*}$ ist und berechnen Sie damit die Maßzahl A der von Gf,x= -1 und der x-Achse eingeschlossenen Fläche.

2 Probleme habe ich zum einen kommen ich nur auf einen gewissen Punkt der Ableitung weiß jedoch nicht wie man es weiter vereinfachen kann so das das Ergebnis rauskommt und 2. die Aufgabenstellung "und berechnen Sie damit die Maßzahl A der von Gf,x= -1 und der x-Achse eingeschlossenen Fläche." ist damit die Fläche der Funktion f(x) von x= -1 und x = 2 gemeint ?

Vielen Dank im Voraus ! smile

smile

Meine Ideen:
Durch ableiten bin ich bis zu dieser Form gekommen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} *(\sqrt{4-x^{2} } -\frac{x^{2} }{\sqrt{4-x^{2} } } +\frac{4}{\sqrt{4-x^{2} } } ) \end{eqnarray*}$

edit Mathema: Latex-Tags gesetzt.

27.12.2015, 19:40

Mathema

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Man addiert Brüche, indem... Lesen2

Lesen2

27.12.2015, 19:46

Dopap

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... und Gf,x=-1 würde ich als senkrechte Gerade interpretieren.

Und warum nicht von x=-2 an ?

Das wäre ein Halbkreis und der geht auch ohne Stammfunktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.12.2015, 20:30

jDave

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Wie man Brüche zusammenfasst ist mir klar, einfach Hauptnenner bilden und dann kann man die auf einem Bruch zusammenfassen aber man kommt dann nicht auf die Funktion f(x) das ist mein problem.
Komme da auf ein falsches Ergebnis. Hammer

Hammer

Komme auf f(x) = \frac{-x}{\sqrt{4-x^{2} } } anstatt auf das richtige Ergebnis f(x) = {\sqrt{4-x^{2} } }

27.12.2015, 21:28

Dopap

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du solltest auch die beiden letzten Brüche addieren und ein Minus ausklammern.

28.12.2015, 00:04

Mathema

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Zitat:

aber man kommt dann nicht auf die Funktion f(x) das ist mein problem.

Falsches Wort. Mir scheint das Wort "ich" hier angebrachter. Bitte benutze in Zukunft Latex-Tags. Ein Ergebnis ohne Rechnung ist wenig zielführend. Hellsehen können wir hier nicht.

Ich mach mal den Anfang, du den Rest:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\sqrt{4-x^{2} } -\frac{x^{2} }{\sqrt{4-x^{2} } } +\frac{4}{\sqrt{4-x^{2} } } )=\frac{1}{2}\cdot\frac{(\sqrt{4-x^2})^2-x^2+4}{\sqrt{4-x^2}}=... \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

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28.12.2015, 11:35

jDave

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Ich* hast rest Big Laugh

Big Laugh

Genau auf diese Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{\sqrt{4-x^{2} } ^{2}+4-x^{2} }{\sqrt{4-x^{2} } } ) \end{eqnarray*}$ komme ich auch noch aber ICH ( Big Laugh

Big Laugh

) komm einfach nicht drauf wie man das jetzt weiter vereinfachen kann um auf die Form $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{4-x^{2} } \end{eqnarray*}$ zu bringen.
Ich kriege einfach keinen gescheiten Ansatz hin unglücklich

unglücklich

PS. und Danke das ihr euch die Mühe gibt, ist sau nett smile

smile

28.12.2015, 11:58

Mathema

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Vereinfache mal den roten Summanden und fasse im Zähler zusammen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\sqrt{4-x^{2} } -\frac{x^{2} }{\sqrt{4-x^{2} } } +\frac{4}{\sqrt{4-x^{2} } } )=\frac{1}{2}\cdot\frac{\textcolor{red}{(\sqrt{4-x^2})^2}-x^2+4}{\sqrt{4-x^2}}=... \end{eqnarray*}$

Was erhältst du?

28.12.2015, 12:25

jDave

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dann kommt man auf $\begin{eqnarray*} F'(x)= \frac{4-x^{2} }{\sqrt{4-x^{2} } } \end{eqnarray*}$ falss ich mich nicht vertahen hab, aber kann mann das dann überhaupt weiter vereinfachen und auf die gewünschte Form bringen ?

28.12.2015, 12:51

Mathema

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Freude

Bedenke nun, es ist $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{x}\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ . Also auch $\begin{eqnarray*} 4-x^2=... \end{eqnarray*}$

edit: Oder über Potenzgesetze:

$\begin{eqnarray*} \frac{(4-x^2)^1}{(4-x^2)^{\tfrac{1}{2}}}=... \end{eqnarray*}$

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man...

28.12.2015, 12:57

jDave

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Super danke fürdie Hilfe, wäre echt nict selber drauf gekommen Hammer

Hammer

manchmal seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht Big Laugh

Big Laugh

28.12.2015, 13:01

Mathema

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Gerne - dann fehlt ja nur noch die Fläche.

28.12.2015, 13:10

jDave

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jo das sollte aber kein Problem darstellen

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{-1} \! f(x) \, dx =\int_{2}^{-1} \! \sqrt{4-x^{2} } f(x) \, dx = \left[\frac{1}{2}*(x *\sqrt{4-x^{2}+4*arcsin(\frac{x}{2}) } \right] \end{eqnarray*}$ und dann die Grenzen x= -1 und x= 2 einsetzen und man bekommt die Fläche.
Frage ist nur hat sich mein Prof. vertahn oder ich: Ich komme auf 5,05 FE und er auf 4,53 FE
Hab mich schon auf Fehlersuche gemacht und es mehrmals im TR eingegeben aber komme auf 5,05

Anschließend muss man noch den Schwerpunkt berechnen aber das ist ja ein Klacks Freude

Freude

28.12.2015, 13:18

Mathema

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Du hast die Grenzen vertauscht, so müsste deine Fläche negativ sein.
Ich komme jedoch auch auf dein Ergebnis, wolframalpha bestätigt das.

28.12.2015, 13:21

jDave

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ah ja stimmt hab es falsch im Editor eingegeben.

Ist nicht das erste mal das das Ergebnis vom Prof. falsch ist Big Laugh

Big Laugh

Danke nochmal ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2015, 13:24

Mathema

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Eigentlich wundert mich das und ich würde eher immer auf ein Denkfehler bei uns tippen. Ich wüsste jedoch nicht, was an unser Rechnung verkehrt ist. Falls jemand anderes einen Fehler sieht, äußert er sich ja vll noch mal.

Dir einen guten Start in die Woche!

Wink

Wink

28.12.2015, 14:17

Dopap

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eine numerische Überprüfung am Original bestätigt den Wert 5.05

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