Bewertung & Residuum einer rationalen 1-Form

28.12.2015, 13:16	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Bewertung & Residuum einer rationalen 1-Form Hallo zusammen. Ich muss von einer rationalen 1-Form die Bewertung und das Residuum in jedem Punkt berechnen. Leider bin ich hier echt überfragt, da mich die Definitionen wirklich verwirren und ich ehrlich gesagt überhaupt nicht weiß, was Sache ist. Vielleicht fangen wir mit der Bewertung an. Grundlegend haben wir definiert: Sei $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ algebraisch abgeschlossen und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine glatte, irreduzible Kurve über $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray} 0 \neq \omega \in \Omega^1_{K(X)} \end{eqnarray}$ eine rationale 1-Form auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Dann definiert man die Bewertung von $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ wie folgt: Sei $\begin{eqnarray} U \subset X \end{eqnarray}$ offen und affin, $\begin{eqnarray} t \in \mathcal{O}(U) \end{eqnarray}$ derart, dass $\begin{eqnarray} t \in \mathfrak{m}_p \ , \ t \notin \mathfrak{m}^2_p \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mathfrak{m}_p \end{eqnarray}$ das zu $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ korrespondierende maximale Ideal bezeichne. (Solch ein $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nennen wir "lokalen Parameter bei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ") Dann definiere $\begin{eqnarray} \nu_p(\omega):=\nu_p(g) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ das eindeutige Element in $\begin{eqnarray} K(X) \end{eqnarray}$ ist (rationale Funktionen), sodass $\begin{eqnarray} \omega = g \cdot dt \end{eqnarray}$ . Hier bin ich ehrlich gesagt schon überfragt, wie denn so ein $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ aussieht. Im konkreten Fall soll die Bewertung der 1-Form $\begin{eqnarray} \omega = x^{-1} dx \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{P}^1(k) \end{eqnarray}$ in jedem Punkt berechnet werden. Wenn ich den projektiven Raum nun mit $\begin{eqnarray} k \cup \{\infty\} \end{eqnarray}$ identifiziere, wage ich zu behaupten, dass die einzigen "problematischen" Punkte gerade $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ sind. Ich weiß, dass die Summe der Bewertungen insgesamt $\begin{eqnarray} -2 \end{eqnarray}$ ergeben muss. Weiter weiß ich, dass der rationale Funktionenkörper hier $\begin{eqnarray} K(\mathbb{P}^1(k))=k(x) \end{eqnarray}$ ist. Aber schon bei einem bei einem beliebigen Punkt scheitere ich am Verständnis. Nehmen wir beispielsweise mal den Punkt $\begin{eqnarray} (1:1) \leftrightarrow 1 \end{eqnarray}$ . Jetzt geht es schon los: Ich dachte, man könnte als offene affine Menge einfach $\begin{eqnarray} U_1 =\{(p_0:p_1)\|p_1 \neq 0\} \end{eqnarray}$ wählen. Dann frage ich mich jetzt schon, wie das zugehörige maximale Ideal aussieht. Ich dachte, das hätte dann die Form $\begin{eqnarray} (x_0-1,x_1-1) \end{eqnarray}$ . Oder hat es die Form $\begin{eqnarray} (x-1) \end{eqnarray}$ , weil ich ja zum affinen übergegangen bin? Mein lokaler Parameter könnte dann ja aber nicht einfach $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ sein, da $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht in dem maximalen Ideal liegt. Deswegen hätte ich gedacht, dass man vielleicht $\begin{eqnarray} x-1 \end{eqnarray}$ als lokalen Parameter wählt. Dann müsste ich also eine Darstellung $\begin{eqnarray} \omega = x^{-1}dx =g\cdot d(x-1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g \in k(x) \end{eqnarray}$ finden. Hier geht es dann weiter mit den Problemen bezüglich Rechnen mit Derivationen. Wäre hier dann schlichtweg $\begin{eqnarray} d(x-1)=dx-d(1)=dx \end{eqnarray}$ ? Dann könnte ich in diesem Fall ja einfach $\begin{eqnarray} g=x^{-1} \end{eqnarray}$ wählen und ich würde $\begin{eqnarray} \nu_p(\omega)=\nu_p(g)=0 \end{eqnarray}$ erhalten wie ich vermutet habe. Im Punkt $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ hätte ich dann einfach den Parameter $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gewählt und würde als Bewertung in diesem Punkt $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ erhalten. Aber was ich mit dem Punkt unendlich anfangen soll - da hab ich keine Idee. Ist hier das Nullideal das korrespondierende maximale Ideal? Dann hätte ich ja nur $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ als lokalen Parameter und das würde das Ganze nur noch konfuser machen. Viele Fragezeichen also. Vielleicht hat ja jemand von euch einen Tipp oder ein paar Erklärungen für mich, sodass ich eine Ahnung bekomme, wie man hier rechnet und was man machen und beachten muss. Vielen Dank schonmal.

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