Kettenregel oder Produktregel

Neue Frage »

Aths Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel oder Produktregel
Woran erkenne ich, ob ich die Kettenregel oder die Produktregel anwenden soll?
gast2812 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel oder Produktregel
Oft muss man beides gleichzeitig anwenden.

Beispiel: e^(x^2)*sin(3x)
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Und wie gehe ich da dann vor in dem Beispiel?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oft muss man beides gleichzeitig anwenden.


Zitat:
Danke für die Antwort


Eigentlich beantwortet das deine Frage doch gar nicht wirklich verwirrt

Die Produktregel kannst du theoretisch IMMER benutzen, sobald eben irgendwo ein Produkt auftaucht.
Der Zusatz "theoretisch" deshalb, weil es z.B. bei sowas wie zwar möglich ist, die Produktregel zu benutzen, man sich in der Praxis aber bei konstanten Faktoren eher der so genannten Faktorregel bedient, die Konstante also lediglich "mitschleppt".

Zum Einsatz der Kettenregel, könnte man zunächst einführend sagen, dass man für eine bestimmte Art von Funktionen (elementare Funktionen) ja bereits passende Ableitungsregeln hat.
Z.B. kennt man (bzw. leitet man irgendwann her), dass die Ableitung von ebenso ist.
(Zu diesen "elementaren" Funktionen gehören natürlich auch Potenzfunktionen oder die Sinus- und Kosinusfunktion f(x)=sin(x) bzw. g(x)=cos(x).)
Was ist jedoch, wenn im Exponenten eben nicht nur ein x steht, sondern von mir aus x², wir also betrachten sollen ?
Dafür gilt dieser obige Zusammenhang ja nicht und genau da kommt die Kettenregel ins Spiel, weil wir ja eine Verkettung/Verknüpfung von und haben.
Namensgebend nennt man a(x) auch äußere und i(x) innere Funktion.
Wenn man also bei einer Funktion eine solche Zerlegung in innere und äußere Funktion erkennt, mathematisch also etwas der Form f(x)=a(i(x)) vorliegen hat, genau dann kann man die Kettenregel benutzen.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Also gilt wenn es eine äußere Funktion gibt und wenn es eine innere Funktion gibt immer die Produktregel?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstaunt1
 
 
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich sagen, dass wenn ich eine innere und eine äußere Funktion festgestellt habe ich die Produktregel anwenden soll?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nein. Es sollte schon ein Produkt vorliegen.



es gibt eine innere und eine äußere Funktion. Wo ist hier ein Produkt?
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Also muss es für die Produktregel immer zwei Faktoren geben, das hatten wir ja oben schon. Und was muss es für die Kettenregel geben? Eine innere und äußere Funktion, oder? Wie erkenne ich, ob es eine innere Funktion und eine äußere Funktion gibt?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

jede Funktion hat ein Argument. Das ist das was in der Klammer steht.

Wenn in der Argumentklammer etwas anderes als x steht, haben wir eine innere Funktion.

a.)

b.)

oft ist die äüssere Funktion nicht so klar ersichtlich, da hilft die Computerschreibweise:



demnach ist INV() die 1. äußere Funktion SQRT() die innere Funktion und zugleich die 2. äußere Funktion und SIN() die 2.Innere Funktion.

Wenn man es einmal geblickt hat ist es eigentlich einfach.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, und wenn in der Argumentklammer x steht, dann gibt es keine Unterscheidung zwischen "äußerer" und "innerer" Funktion?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht doch alles schon in meinem gestrigen Beitrag von 21:17.
Ist heute Tag der Redundanz ?

Und tatsächlich zweimal die Frage, ob man jetzt wirklich bei innerer und äußerer Funktion die Produktregel anwendet - der Knaller. Spam
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte es nochmal mir verdeutlichen. Stimmt das so?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nur Geduld. Manche Fragesteller wollen umsorgt werden und fragen mehrmals nach. Eine Erklärung allein genügt nicht. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke und hoffe, dass ich schon ein geduldiger Mensch bin.
Wenn ich oben jedoch klar gegliedert erkläre, wann die Produkt- und wann die Kettenregel zum Einsatz kommen kann und daraufhin die oben erwähnte Frage sogar mehrfach folgt (und der Teil mit innerer und äußerer Funktion ja glasklar im Kettenregel-Abschnitt steht), dann hat das für mich nichts mehr mit einer Sicherheitsnachfrage zu tun - dann kann der Fragesteller schlicht nicht vernünftig lesen. smile

Zitat:
Ich wollte es nochmal mir verdeutlichen.


Vielleicht liegt der Hund in der Tat in der Fähigkeit des Lesens und Verstehens der deutschen Sprache begraben.
Dieser Satz gibt zumindest einen Hinweis auf Schwächen in der Satzstellung.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten. Nun ist es deutlich.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte man vielleicht eine Regel formulieren, aufgrund der man weiß, wann man die Kettenregel, die Produktregel oder beide Regeln anwenden muss?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Das entscheidet man durch hinschauen! Deshalb gibt es ja die optischen Schreibfiguren.

Was du andeutest wäre ja ein Programm, das das alles entscheidet, so wie es Computer Algebra Systeme haben. Dieses zerlegt die Expression schon beim Aufschrieb in eine Baumstruktur. Diese Struktur musst du nun zumindest in einfachen Fällen selbst "sehen"



Level 0 : ein Produkt u(x)v(x) ----> Produktegel

Level 1 : eine Summe ---> Summenregel.

Level 1: eine Potenzfunktion ----> Potenzregel

Level 2: eine e-Funktion -----> e-Funktionsregel

Level 2: ein Faktor ---> Faktorregel

Level 3: innere Funktion von e ----> innere Ableitungsregel

Level 3 innere Funktion der Potenz -----> innere Ableitungsregel


so ungefähr sieht das aus, nur ist die Frage ob dir dieser Algorithmus = Regel wirklich weiterhilft.
Der Mensch ist eben kein Computer ( -Programm )
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so geht es auch, aber ich meinte, ob man anhand verschiedener Zeichen oder Klammern so etwas erkennen kann.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das kann man. Erstaunt2
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man ein Mal dabei hat, dann kann man davon ausgehen, dass man die Produktregel anwenden muss. Und wie ist das bei der Kettenregel?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Produktregel wendet man sinnvollerweise dann an, wenn ein Produkt zwischen echten Funktionen vorliegt. ( mit x im Argument ).

Die Kettenregel gilt für jede echte Funktion.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist mit "echt" gemeint?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Funktionen sollten x im Argument haben.

Die Faktoren beim Produkt sollten auch x enthalten, ansonsten gilt die Faktorregel.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist aber bei den meisten Funktionen so, dass die ein x im Argument haben, oder?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Umgangssprachlich mag das stimmen.
ich meine damit etwas wie:



f'(x) erfolgt nicht nach Produktregel. Obwohl es nicht verboten wäre.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das ist klar. Also muss ich die Kettenregel immer benutzen, wenn ein x im Argument ist. Und wenn dann ein Malzeichen in der Funktion ist, muss ich zusätzlich auch noch die Produktregel benutzen. Und welche zuerst?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt sind wir wieder am Anfang des Threads.

Wie gesagt sagt ein Malzeichen allein noch nichts aus. Da solltest du schon konkrete Beispiele bringen.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann man da keine korrekte Regel aufstellen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

In Worten ist eine solche Regel kaum zu fassen. Man müsste den Ausdruck in eine Baumstruktur zerlegen und dann weitersehen ... siehe oben.



so, was ist nun zuerst dran ?
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal muss man die Summanden einzeln ableiten, oder?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja richtig, zuerst greift die Summenregel, nur ist da nicht viel zu tun:

Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Und dann die Kettenregel?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



A(x) ist ein Produkt !!!!

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap

Absicht oder nicht, jedenfalls kann deine Funktion auch als Beispiel dafür dienen, dass es sich manchmal lohnt, vor dem Differenzieren einige Subterme zu vereinfachen: Ich denke da vor allem an

. smile
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sind die beiden Summanden beides Produkte?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



A(x) ist ein Produkt !!!!


--------------------------------------------------------------------------------

@Aths : meinst du jetzt damit verwirrt
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

A'(x) und B(x) meine ich.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

A'(x) ist im Sinne der Ableitung keine Summe von Produkten, da schon teil-differenziert wurde.
Die nächste Stufe ist dann:




-----------------------------------------------------

B(x) ist im Sinne der Ableitung kein Produkt. Nach der Faktorregel kommt die Ableitung einer Funktion.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Was muss dann jetzt gemacht werden?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »