Affine Varietät eines Polynomrings |
| 01.01.2016, 13:30 | kathi93 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Affine Varietät eines Polynomrings Hallo, ich habe eine Frage beim Beweis des schwachen Nullstellensatzes. K Körper, K algebraisch abgeschlossen, I cK {x1,...,xn} Ideal. V ist die affine Varietät. Dann gilt: V(I)= leere Menge genau dann wenn I =K {x1,...,xn}. Bei der Rückrichtung steht beim Beweis nur V(K {x1,...,xn}) = leere Menge weil die 1 im Polynomring enthalten ist. Das verstehe ich nicht warum das gilt. Kann mir das jemand erklären? Danke! Meine Ideen: Ich weiß nur, dass wenn die 1 ideal enthalten ist, man bereits den ganzen Körper aus dem das Ideal kommt erzeugen kann. |
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| 01.01.2016, 19:13 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Affine Varietät eines Polynomrings Hallo, ich glaube das ist einfach: eine Varietät ist doch die Menge, in der vorgegebene Polynome den wert 0 annehmen, und hat man den vollen polynomring K[x_1 ... x_n], ist da ja auch das konstante Polynom y=1 drin, und das kann ja nie gleich 0 werden, also ist die Varietät in diesem Fall die leere Menge. 
gruss ollie3 |
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| 02.01.2016, 10:51 | kathi93 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Affine Varietät eines Polynomrings [attach]40270[/attach]Vielen Dank für deine Antwort! Hat mir sehr geholfen. Ich hätte noch eine Frage, falls das ok ist. Und zwar wiederum beim Beweis des Schwachen Nullstellensatzes. Ganz am Ende haben wir herausgefunden (mit einer Folgerung des Fortsetzungssatzes), dass das erste Eliminationsideal gleich dem Polynomring in n-1 Variablen ist, also I_1 = K {x_2,...,x_n}. Daraus folgern wir dann, dass die 1 in I_1 enthalten ist. Wieso kann man das einfach folgern? Danke!! |
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| 02.01.2016, 11:34 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Affine Varietät eines Polynomrings Hallo, in jedem polynomring ist auch die 1 drin, nur eben nicht in jedem ideal.
gruss ollie3 |
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| 02.01.2016, 18:22 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Affine Varietät eines Polynomrings
Genauer gesagt ist die 1 nur in einem Ideal enthalten, dem Ring selber.
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| 05.01.2016, 11:20 | kathi93 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Affine Varietät eines Polynomrings Vielen, vielen Dank für eure Antworten! Ich habe leider noch mehr Fragen zu dem Beweis. Ich hänge euch mal den Beweis im Original an, dann ist es vielleicht leichter zu durchschauen für euch. Die Hinrichtung beweisen wir per Induktion. Im Induktionsschritt betrachten wir dann die Abbildung phi. 1) Ich verstehe nicht wie man auf diese Abbildung kommt. Und was macht diese Abbildung überhaupt? Sie bildet das ganz normale Polynom auf ein anderes Polynom ab oder ? 2) Bei Punkt 2) wo man das Bild von Phi betrachtet und zeigen soll, dass die Affine Varietät vom Bild von Phi (= I Schlange) die leere Menge ist. Wir beweisen das mit einem Widerspruchsbeweis. Die eine Folgerung verstehe ich nicht (rot markiert), wo man folgert, dass aus f_schlange (d_1,...,d_n) = 0 --> f (d_1, d_2 + a_2d_1,....) = 0. Warum folgt das? Vielen vielen Dank!! |
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| 05.01.2016, 11:23 | kathi93 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Affine Varietät eines Polynomrings Hier die Bilder nochmal in besserer Qualität. |
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