2 dimensionale Wellengleichung mit Formel von d'Alembert

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hjo Auf diesen Beitrag antworten »
2 dimensionale Wellengleichung mit Formel von d'Alembert
Hallo zusammen, alles gute im 2016 smile

Ich muss wieder einmal lernen und zwar PDE. Das geht eigentlich ganz ordentlich, doch ich verstehe die Formel von d'Alembert nicht wirklich.
Meine Aufgabenstellung lautet:


für und für alle anderen Fälle

die Formel von d'Alembert lautet ja:



wobei f(x)=0 womit nur noch

stehen bleiben sollte.

Jetzt meine Frage, wie muss ich dies nun lösen?
Mein Vorschlag wäre gewesen für das Integral zu lösen.
Wo für g(x)=1 dann 0.5((x+t)-(x-t)) = t wäre. Aber dies stimmt leider nicht mit meinen lösungen überein. Könnte mir jemandhelfen?
Herzlichen Dank
Hjo
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hjo,

Zitat:
Aber dies stimmt leider nicht mit meinen Lösungen überein


Wie sehen diese denn aus? Steht in der Aufgabenstellung noch was über , z.B. ? Ich komme in diesem Fall auf:



Wirkliche Hilfe kann ich dir wohl aber leider nicht geben, da ich mich gerade (aus der Langeweile heraus) das erste Mal mit solch einer Gleichung beschäftigt habe. Der Beitrag ist also eher eine Nachfrage nach der Lösung. Für eine gute Hilfestellung darf gerne jemand anders ran, der sich besser auf diesem Gebiet auskennt.
hjo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mathema

Deine Lösungen stimmen teilweise mit den Musterlösungen überein.
In meinen Musterlösungen kommt die Lösung u(x,t)= t/2 nicht vor.
Der Rest sollte identisch sein, die Bedingungen für x sind anders formuliert.
Jetzt ist natürlich auch möglich dass meine Musterlösungen nicht korrekt sind.

Auf die Teillösung für u(x,t)=t bin ich auch gekommen. Mir fehlt aber noch der ganze Rest. Könntest du mir sagen was du gemacht hast um auf die restlichen Teile der Lösung zu kommen?

Lg und besten Dank
Hjo
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In meinen Musterlösungen kommt die Lösung u(x,t)= t/2 nicht vor.


Bei mir doch auch nicht. verwirrt

Zitat:
Der Rest sollte identisch sein, die Bedingungen für x sind anders formuliert.


Magst du die Musterlösung mal posten?

Zitat:
Jetzt ist natürlich auch möglich dass meine Musterlösungen nicht korrekt sind.


Aus besagten Gründen würde ich da eher an meiner Lösung zweifeln. Augenzwinkern

Zitat:
Könntest du mir sagen was du gemacht hast um auf die restlichen Teile der Lösung zu kommen?


Ich würde gerne zunächst einmal meine Lösung mit der Musterlösung abgleichen, bevor ich dir da irgendwelchen Käse erzähle.
hjo Auf diesen Beitrag antworten »

sorry ich meinte nur t, ich hatte t/2.

mit dem jeweiligen Definitionsbereich

Das sind die Musterlösungen, ich hoffe man versteht was ich meine smile
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar - danke dir!

Könntest du dann noch mal zur Aufgabenstellung sagen? Irgendwelche Angaben über x bzw. t?

Werde mich dann morgen noch mal dransetzen. Heute wird das nichts mehr. Schläfer
 
 
hjo Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt eigentlich nicht viel mehr, noch das t>0 und x eine reele Zahl ist.
Und das man die Aufgabe lösen soll Hammer
Lg Hjo
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Herrje - und wieso sagst du das nicht gleich und lässt dich erst zweimal bitten?



Für ist diese Bedingung wohl nicht zu erfüllen, findest du nicht? Da erscheint es mir auf dem ersten Blick schon logisch, wieso diese nicht in der Musterlösung auftaucht.

Dann ist meine Lösung nun identisch bis auf den blauen Teil. Der ist aber durch die linke Ungleichung in diesem Fall mit abgedeckt meiner Meinung nach. Siehst du das auch so?
hjo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Für ist diese Bedingung wohl nicht zu erfüllen, findest du nicht? Da erscheint es mir auf dem ersten Blick schon logisch, wieso diese nicht in der Musterlösung auftaucht.

Ich glaube ich was du meinst. Wenn es zu so einem Widerspruch kommt, wie weiss ich dann welche Lösung nun falsch ist?

Zitat:
Original von Mathema
Dann ist meine Lösung nun identisch bis auf den blauen Teil. Der ist aber durch die linke Ungleichung in diesem Fall mit abgedeckt meiner Meinung nach. Siehst du das auch so?
Ja doch sollte schon stimmen.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn es zu so einem Widerspruch kommt, wie weiss ich dann welche Lösung nun falsch ist?


Nun - die Lösung mit Widerspruch ist einfach keine Lösung. Du kannst du dir ja mal ein hernehmen, z.B. . Dann steht dort:



Und so ein gibt es wohl nicht.

Zitat:
Ja doch sollte schon stimmen.


Vielleicht interpretiere ich diesen Satz verkehrt, aber er hört sich nicht gerade an, als hättest du dir hier Gedanken gemacht. Das hoffe ich nicht!

Naja - wenn du möchtest kann ich gerne meine Lösung mit dir durchgehen. Ich betone aber noch mal, dass ich kein Experte auf diesem Gebiet bin.

Hast du dir schon ein Bild gemacht?
hjo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema

Vielleicht interpretiere ich diesen Satz verkehrt, aber er hört sich nicht gerade an, als hättest du dir hier Gedanken gemacht. Das hoffe ich nicht!

Ich habe mir meine Gedanken dazu gemacht, bin mir aber nicht 100% sicher. Darum sollte Augenzwinkern

Zitat:
Original von Mathema


Naja - wenn du möchtest kann ich gerne meine Lösung mit dir durchgehen. Ich betone aber noch mal, dass ich kein Experte auf diesem Gebiet bin.

Gerne ja, ich weiss einfach nicht was ich machen muss.

Zitat:
Original von Mathema
Hast du dir schon ein Bild gemacht?

Wie meinst du das?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe mir meine Gedanken dazu gemacht, bin mir aber nicht 100% sicher.


Dann würde ich vorschlagen wir gucken uns das später noch mal gemeinsam an. Einverstanden?

Zitat:
Wie meinst du das?


So.
hjo Auf diesen Beitrag antworten »

Ah nein. Ich verstehe die Skizze auch nicht wirklich. Das x+t eine Lösung für u(x,t) habe ich gemerkt. Mehr leider nicht.
Sei mir nicht böse ich habe 2 Aufgaben in meiner Sammlung zu dieser d'Alembert Formel und 80 andere Aufgaben. Ich habe nicht wirklich Ahnung.

Und ich habe ja von Anfang an geschrieben dass deine Lösung mit der Musterlösung übereinstimmt. Aber wie will ich mir 100% sicher sein wenn ich nicht einmal weiss was überhaupt gerechnet wurde?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe nicht wirklich Ahnung.


Dann passen wir ja bestens zusammen... Hast du nicht eine Vorlesung dazu besucht, oder wieso sollst du dich mit solchen Aufgaben beschäftigen?

Dann versuche ich mich mal:

In der Aufgabe steht doch:



Das bedeutet:



Und somit:

und

Jetzt untersuchen wir in allen Bereiche A, B, ..., F was mit und passiert.

Für Bereich A gilt (siehe Bild):

und und somit

Also:

Da hatte ich mein her.

Für die Bereiche gilt nun aber:

also und also

Da beide Ungleichungen erfüllt sein müssen nehmen wir als untere Schranke die größere und als obere Schranke die kleinere. Also:



Dass es dafür keine gibt hatten wir geklärt.

Tut mit leid, ich kann sicherlich nicht mit besten Erklärungen hier glänzen, ich hoffe es ist einigermaßen verständlich (und überhaupt richtig). Und ehrlich gesagt hoffe ich, dass sich hier immer noch ein Helfer zu Wort meldet, der mehr Ahnung hat als ich. Dann räume ich gerne mein Platz.

Falls du etwas verstanden hast kannst du dich ja nun mal um Bereich B kümmern...
hjo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ging in der Vorlesung um Laplacetrafos, Fouriertrafos und partielle Dgl. Im Skript haben wir eigentlich nur diese d'Alembert Formel angegeben aber nicht viel mehr.

Ich habe dies gleich gemacht. Ich habe auch dieses Integral gelöst was dann = t ist. Auch mit den Grenzen habe ich die selben Überlegung gemacht gehabt, für u(x,t)=t.

Aber was muss ich integrieren für die restlichen Lösungen? Ich sehe es leider nicht.
Ich glaube dass wenn ich noch ein bisschen mehr von deiner Skizze verstehe sollte der Rest auch nicht mehr weit sein.

Vielen Dank und einen schönen Abend
Hjo
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hjo,

die Skizze zeigt, in welchem Bereich wir uns befinden. Guck dir doch mal Bereich B an:

Hier gilt sicherlich:

und

Für ist also und für ist

Also können wir integrieren:



Jetzt müssen wir die Bedingungen prüfen:

also und

ist für aber sicherlich die kleinere obere Schranke, also die schärfere Bedingung. Somit kann die zweite Bedingung vernachlässigt werden.

Grüße,
Mathema
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