Rang einer Matrix berechnen in Abhängigkeit von Parametern

05.01.2016, 11:23

Kiche

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Rang einer Matrix berechnen in Abhängigkeit von Parametern

Meine Frage:
Hallo,
habe hier eine Aufgabe, wo ich nach ewigem Herumprobieren
immer noch nicht weiß wie ich zum Ergebnis komme.
Also:
Man bestimme den Rang der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & o & 1 & 1 & 0 \\ 0 &1 & 1&0&1 \\ a & b & c&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left(a,b,c \in \mathbb R \right) \end{eqnarray*}$

in Abhängigkeit von a,b und c.

Meine Ideen:
Also ich weiß,das man die Matrix in Stufenform bringen muss.
Aber ich scheitere einfach daran.
Vielen Dank!

05.01.2016, 11:31

MeMeansMe

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RE: Rang einer Matrix berechnen in Abhängigkeit von Parametern
Hey,

wo genau hängst du denn? Du musst hier sowohl mir Zeilen als auch mit Spalten streichen, vielleicht hilft dir das.

Ansonsten poste doch mal deinen bisherigen Lösungsansatz smile

smile

05.01.2016, 11:32

Elvis

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Die mit a multiplizierte 1. Zeile von der 3. Zeile und die mit b multiplizierte 2. Zeile von der 3. Zeile abziehen kann nicht soo schwierig sein.

05.01.2016, 13:36

URL

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Ich würde gar nicht rechnen. Dei Matrix hat mindestens Rang 2 (beiden letzten Spalten sind l.u) und höchstens 3.
Alle Parameter sind in der dritten Zeile - in der die beiden letzten Spalten beide eine Null haben.

05.01.2016, 14:06

MeMeansMe

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Auch wenn man durch kluges Argumentieren auf den Rang kommen könnte, fände ich es doch angebracht, Kiche, die Matrix mittels Gauß einfach mal so umzuformen, dass du den Rang direkt ablesen kannst. Du sagst, du hast damit Schwierigkeiten; daher wäre es sinnvoll, das mal zu üben, jetzt wo du es hier ohnehin gepostet hast smile

smile

05.01.2016, 14:44

Kiche

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Danke an alle.
Also ich habs mal probiert:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & a-b-c & -a & -b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig? verwirrt

verwirrt

Ist dann der Rang 2, weil die Anzahl der Nichtnullzeilen 2 ist?

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05.01.2016, 14:52

MeMeansMe

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Hey,

sag am besten dazu, was du genau gemacht hast. Wie kommst du auf das $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ in der rechten unteren Ecke? Und auch den Eintrag $\begin{eqnarray*} a_{33} \end{eqnarray*}$ solltest du dir nochmal anschauen smile

smile

Ansonsten sieht es aber schon mal gut aus. Und noch kannst du nichts über den Rang sagen, da du noch nicht fertig bist Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.01.2016, 15:58

Kiche

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Okay also:
zuerst die 3. Zeile minus die 1. Zeile mal a
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 &1 \\ 0 & b & c-a & -a & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann die 3. Zeile minus die 2. Zeile mal b
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 0 & c-a-b & -a & -b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann müsste doch auch das -b da sein oder?
Also muss ich noch weiter umformen?

05.01.2016, 16:09

MeMeansMe

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Sehr gut

smile

Ja, stimmt das $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ gehört da hin. Ich hatte was übersehen smile

smile

Du musst so lange umformen, bis du nichts mehr umformen kannst. Hier kannst du ja noch jede Menge machen.

05.01.2016, 17:22

Kiche

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Kannst du mir dabei evt helfen?
In der zweiten Zeile muss doch noch die erste 1 weg oder?
Ich weiß nicht so genau wie. unglücklich

unglücklich

05.01.2016, 17:57

Elvis

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Es geht doch nur um den Rang der Matrix, und man sieht jetzt schon:
(i) $\begin{eqnarray*} a\ne 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b\ne 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c-a-b \ne 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow rg=3 \end{eqnarray*}$ .
(ii) $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow rg=2 \end{eqnarray*}$
Das ist eine vollständige Fallunterscheidung, mehr kann man nicht wollen.

05.01.2016, 18:04

MeMeansMe

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Entschuldigung, ich wollte nur, dass der Fragesteller auch mit Variablen streichen kann (wie ich auch schon deutlich gemacht habe), wozu in diesem Fall eben auch eine Fallunterscheidung gehört. Aber scheinbar ist hier sowas nicht gewünscht...

Kiche, du hast die Antwort und wenn du die Fallunterscheidung machst, kannst du auch zu Ende streichen. Viel Erfolg.

05.01.2016, 18:07

Elvis

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Das verstehe ich nicht. Was heißt "streichen" ? Was soll gestrichen werden und warum ?

05.01.2016, 18:43

Kiche

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Also kann ich das dann da so hin schreiben?
Ich frage so doof, weil jede Aufgabe mir Punkte gibt. unglücklich

unglücklich

MeMeansMe: Wenn es dir nichts ausmacht, würde ich deine weitere Version gerne auch hören. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.01.2016, 18:58

Elvis

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URL rechnet gar nicht, er sieht das Ergebnis sofort.
Elvis rechnet einen Schritt im Gauß-Algorithmus und sieht das Ergebnis dann.
MeMeansMe rechnet noch weiter und sieht das Ergebnis danach.
Kiche muss solange nichtstun oder rechnen, bis er das Ergebnis sieht, begründen und erläutern kann.

05.01.2016, 19:15

Kiche

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Ach, so ist das, Tut mir leid, dass ich eine Frage gestellt habe und es nicht so ganz verstanden habe. Bergründen und erläutern kann ich erst, wenn ich es verstehe, wonach ich gefragt hatte.

Vielleicht bkomme ich ja noch eine hilfreiche Antwort.
Danke!

05.01.2016, 19:33

Elvis

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Na dann erläutere und begründe ich meine Antwort.

Die Spalten 1 und 2 sind l.u. Wenn eine weitere Spalte einen Eintrag in der 3. Zeile hat, so ist der Spaltenrang 3.

Die Zeilen 1 und 2 sind l.u. Wenn die letzte Zeile die Nullzeile ist, ist der Zeilenrang 2.

Anmerkung: Es ist immer Rang=Spaltenrang=Zeilenrang.

05.01.2016, 19:35

MeMeansMe

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Ich habe durchaus gesehen, dass es auch ohne Gauß geht. Der Grund, warum ich es mit Gauß machen wollte, war das folgende Statement des Fragestellers:

Zitat:

Also ich weiß,das man die Matrix in Stufenform bringen muss. Aber ich scheitere einfach daran.

Wenn man nicht schon oft mit solchen Aufgaben zu tun hatte (wie ich es bei Kiche mal unterstelle), was überhaupt nicht schlimm ist, dann ist es durchaus sinnvoll, sich mal die Mühe zu machen.

Kiche, es ist kein Problem, wenn du etwas nicht sofort verstehst. Darum gibt es hier Leute, die dir dabei helfen. Aller Anfang ist oft schwer, das sieht man kaum so gut wie beim Erlernen neuer mathematischer Konzepte.

Mal zu dem Fall, dass $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ .Du siehst nun, dass die letzte Zeile nur aus Nullen besteht. Dann kannst du die erste oder zweite Zeile nicht mehr zur Nullzeile machen (Rang = 2). Du könntest auch mit den Spalten arbeiten und beispielsweise die erste und zweite Spalte dazu nutzen, um zu erreichen, dass die dritte, vierte und fünfte Spalte nur Nullen enthalten. Du hast am Ende also zwei Spalten/Zeilen übrig, die keine Nullspalten-/zeilen sind. Darum ist der Rang 2.

Für den ersten Fall, den Elvis nannte, kannst du ja mal selber versuchen zu argumentieren smile

smile

Nochmal: Ich arbeite nun absichtlich mit Gauß.

05.01.2016, 19:52

Elvis

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Oha, ich dachte, Gauß zur Rangbestimmung sei genau das, was ich gemacht habe, nämlich Elementaroperationen solange durchführen bis man den Rang der Matrix als Zeilenrang (Anzahl l.u. Zeilen) oder Spaltenrang (Anzahl l.u. Spalten) ablesen kann. Mehr ist nicht nötig, außer wenn man mit Gauß ein LGS lösen möchte, aber das ist eine andere Geschichte (oder nicht ?).

05.01.2016, 20:17

Kiche

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Okay Danke. Jetzt verstehe ich das auch.
Also wenn ich den Rang suche, müssen Spalten und Zeilen die keine Nullzeilen(spalten) sind gleich sein, und das ist dann der Rang.

Ich probiere das mal:
Wenn also entweder -a, -b oder c-a-b ungleich 0 ist, ist die 3. Zeile keine Nullzeile mehr und somit ist der Rang 3, richtig?

Also nochmal als grobe Zusammenfassung:
1. Matrix nach Gauß in Stufenform bringen
2. nach Nullzeilen "ausschau" halten
3. Die Zeilen(Spalte) bis zur Nullzeile(spalte) ist der Rang.

Ich war nur lange krank und konnte die Vorlesungen nicht besuchen. Und konnte mir das alles aus dem Skript nicht so herleiten.

06.01.2016, 09:25

MeMeansMe

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Zitat:

Original von Kiche
Ich probiere das mal:
Wenn also entweder -a, -b oder c-a-b ungleich 0 ist, ist die 3. Zeile keine Nullzeile mehr und somit ist der Rang 3, richtig?

Die dritte Zeile ist keine Nullzeile mehr und die drei Zeilen sind linear unabhängig. Das letzte Argument ist wichtig. Du kannst also keine der drei Zeilen durch Zeilenumformungen auf eine Nullzeile bringen.

Zitat:

Original von Kiche
Also nochmal als grobe Zusammenfassung:
1. Matrix nach Gauß in Stufenform bringen
2. nach Nullzeilen "ausschau" halten
3. Die Zeilen(Spalte) bis zur Nullzeile(spalte) ist der Rang.

Nochmal anders formuliert: Du streichst die Matrix so lange, bis du nur noch linear unabhängige Spalten- bzw. Zeilenvektoren hast.

Zitat:

Original von Kiche
Ich war nur lange krank und konnte die Vorlesungen nicht besuchen. Und konnte mir das alles aus dem Skript nicht so herleiten.

Du hast dir absolut nichts vorzuwerfen.

Noch eine Sache: Im Prinzip musst du die Matrix nicht bis zum Ende streichen, wie Elvis sehr gut erklärt hat. Du kannst schon nach dem ersten Schritt argumentieren, was der Rang sein muss, indem du die Fallunterscheidung machst. Ich bin nur der Meinung, dass man sich durchaus am Anfang (soll heißen, wenn man gerade lernt, den Rang zu berechnen) die Mühe machen sollte, auch mal komplett bis zum Ende Gauß anzuwenden, weil du dann siehst, was eigentlich hinter der Argumentation steckt. Dann siehst du auch, dass "Spaltenrang gleich Zeilenrang" gilt, dann siehst du, dass du einen Unterschied machen musst zwischen (beispielsweise) $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\not= 0 \end{eqnarray*}$ (wenn du nämlich wirklich bis zum bitteren Ende streichen willst, willst du evtl. durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ teilen, was aber nur geht, wenn es nicht 0 ist). Sowas ist sehr wichtig, auch wenn kluges Argumentieren am Anfang ziemlich viel Zeit spart (aber eben nicht unbedingt einfach ist, wenn man keine Erfahrung hat). Ich hoffe, dich hat diese Diskussion, in der irgendwie jeder an jedem vorbei geredet hat, nicht allzu sehr verwirrt smile

smile

06.01.2016, 11:21

Elvis

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MeMeansMe hat insofern auch recht, weil mehr Rechnen mehr Übung bedeutet. In diesem Fall wird das Weiterrechnen aber auch zu deutlich mehr Fallunterscheidungen führen. Bei jeder Division durch eine Variable (hier a, b, c-b-a) muss man die beiden Fälle Variable gleich 0 und Variable ungleich 0 unterscheiden.

@Kiche: Es geht bei der Rangbestimmung nicht nur um Nullvektoren (also Nullzeilen oder Nullspalten), sondern immer um linear unabhängige und linear abhängige Vektoren. Lies meine Begründung noch einmal sorgfältig durch und glaube erst dann, dass sie richtig ist, wenn Du sie verstanden hast.

06.01.2016, 11:23

Kiche

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Vielen Dank nochmal an alle!
Habs jetzt endlich verstanden. Freude

Freude

Ich werde noch ein paar mal fleißig üben!

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