Beweis der Existenz einer speziellen Basis

05.01.2016, 20:32

F14

Beweis der Existenz einer speziellen Basis

Meine Frage:
Guten Abend!

Bei folgender Frage komme ich nicht so recht weiter:

Sei V ein Vektorraum der Dimension n,
sei f ein Endomorphismus mit $\begin{eqnarray*} f^{n}=0 \end{eqnarray*}$ .
Man zeige:

Es gibt genau dann ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ sodass
$\begin{eqnarray*} v, f(v), ..., f^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V bildet,

wenn $\begin{eqnarray*} dim(Ker(f))= 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Die eine Implikation ist denke ich nicht schwer, trotzdem mal zur Sicherheit:

Nehme an es sei $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ sodass
$\begin{eqnarray*} v, f(v), ..., f^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V bildet.
Da dies offensichtlich n von 0 verschiedene Vektoren sein müssen, ist
$\begin{eqnarray*} f^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ im Kern von f, da ja $\begin{eqnarray*} f^{n}=0 \end{eqnarray*}$ für alle v. Sei nun w ein weiteres Element des Kerns. Man kann w offensichtlich als Linearkombination der Basisvektoren schreiben:
$\begin{eqnarray*} w=a*v+b*f(v)+...+n*f^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} a*f(v)+b*f^{2}(v)+...+n*f^{n}(v)=0 \end{eqnarray*}$ .

Da ja $\begin{eqnarray*} f(v),...,f^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind,
und $\begin{eqnarray*} f^{n}(v) \end{eqnarray*}$ sowieso 0 ist,
ist $\begin{eqnarray*} a=b=...=m=0 \end{eqnarray*}$ und somit w ein Vielfaches von
$\begin{eqnarray*} f^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ , das den Kern bildet.

Bei der anderen Implikation scheiter ich aber leider noch.
Sei $\begin{eqnarray*} u\neq 0 \end{eqnarray*}$ nun im Kern von f.
Ich muss ja irgendwie ein v finden, sodass zum einen die
$\begin{eqnarray*} v, f(v), ... \end{eqnarray*}$ alle ungleich 0 sind, also "erst"
$\begin{eqnarray*} f^{n-1}(v)=u \end{eqnarray*}$ ist.
Und dann noch zeigen, dass dies tatsächlich eine Basis ist.

06.01.2016, 13:40

F14

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Mit $\begin{eqnarray*} f^{n} \end{eqnarray*}$ ist die n-te Verkettung der Fuktion f gemeint, also $\begin{eqnarray*} f(f(...(f(v))...)) \end{eqnarray*}$ ,
falls das unklar ist...

08.01.2016, 22:49

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RE: Beweis der Existenz einer speziellen Basis
Zum ersten Teil: Schaut man sich die Abbildungsmatrix A von f bzgl der Basis $\begin{eqnarray*} v, f(v), ..., f^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ an, dann sieht man sofort, dass Rang(A)=n-1 ist, der Kern also eindimensional sein muss.
Alternativ $\begin{eqnarray*} f(\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_if^{i}(v))=\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i f^{i}(v) \end{eqnarray*}$ . Das Bild ist also (n-1) dimensional, der Kern also eindimensional.

Der zweiten Teil sollte per Induktion nach n machbar sein.

09.01.2016, 19:10

F14

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Danke für die Antwort!

Bin nicht darauf gekommen, hier Induktion zu versuchen... Sehr guter Tipp! Freude

Ist die Argumentation dann richtig?

IA
$\begin{eqnarray*} n= 1 \end{eqnarray*}$

Klar, weil dann $\begin{eqnarray*} dim V=1 \end{eqnarray*}$ , also ein v auch die Basis bildet.

IS
$\begin{eqnarray*} n => n+1 \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} dim V=n+1 \end{eqnarray*}$

Dann ist
$\begin{eqnarray*} dim(Im(f))=n \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} dim(Ker(f|Im(f)))=1 \end{eqnarray*}$ ,
also gibt es $\begin{eqnarray*} f(v), f^{2}(v), ..., f^{n}(v) \end{eqnarray*}$
die eine Basis von $\begin{eqnarray*} Im(f) \end{eqnarray*}$ bilden (Induktionsvoraussetzung)
Dann ist zu diesen n Vektoren auch $\begin{eqnarray*} v\in \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Wäre nämlich stattdessen
$\begin{eqnarray*} v= \sum\limits_{k=1}^{n} f^{k}(v) * \lambda (k) \end{eqnarray*}$
so folgt ja
$\begin{eqnarray*} f(v) = \sum\limits_{k=2}^{n+1} f^{k}(v) * \lambda (k-1) \end{eqnarray*}$
und da der letzte Summand offensichtlich null ist weil
$\begin{eqnarray*} f^{n+1}(v)=0 \end{eqnarray*}$ ,
ist das Widerspruch zur Annahme, sie seien linear unabhängig.

Also hat man n+1 linear unabhängige Vektoren gefunden, sie bilden eine Basis.

10.01.2016, 13:17

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So hätte ich das im Prinzip auch gemacht.
Zwei Anmerkungen
$\begin{eqnarray*} dim(Ker(f|Im(f)))=1 \end{eqnarray*}$ muss man m.E. noch begründen. $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist klar, aber warum kann f auf Im f nicht injektiv sein?
Die Annahme $\begin{eqnarray*} v\in Imf \end{eqnarray*}$ scheitert auch an $\begin{eqnarray*} f^n(v)=f^{n+1}(u)=0 \end{eqnarray*}$

10.01.2016, 15:09

F14

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Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} dim(Ker(f|Im(f)))=1 \end{eqnarray*}$ muss man m.E. noch begründen. $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist klar, aber warum kann f auf Im f nicht injektiv sein?

Dann wäre ja auch $\begin{eqnarray*} Im(f)=Im(f^{2})=Im(f^{3})=...=Im(f^{n+1})\neq 0 \end{eqnarray*}$
Widerspruch für n>1 , weil dann $\begin{eqnarray*} Im(f)=n-1\neq 0 \end{eqnarray*}$

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