Lagrangesche Grundpolynome

06.01.2016, 16:39

Lynn2

Lagrangesche Grundpolynome

Meine Frage:
Guten Abend smile

Gegeben seien die Stützstellen $\begin{eqnarray*} x_0 < x_1 < ... < x_n \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Lagrangeschen Grundpolynome $\begin{eqnarray*} l_k(x) := \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind und
die Summe $\begin{eqnarray*} l_k(x) := \sum_{k=0}^n l_k(x) \end{eqnarray*}$ eine konstante Funktion ist.

Zeigen Sie weiter für $\begin{eqnarray*} \omega (x) := \prod_{i=0}^n (x-x_i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \neq x_k \end{eqnarray*}$ ,
dass $\begin{eqnarray*} l_k(x)=\frac{\omega(x)}{\omega'(x_k)(x-x_k)} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß leider nicht, wie die Aussagen zeigen soll. Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen.

06.01.2016, 16:54

HAL 9000

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Gar nichts?

Die letzte Aussage z.B. kann man doch einfach durch Ausrechnen der Ableitung von $\begin{align*} \omega(x) \end{align*}$ (erweiterte Produktregel für zwei oder mehr Faktoren) direkt verifizieren.

----------------------------

Lineare Unabhängigkeit liegt dann vor, wenn aus

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n a_k l_k(x) = 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$

zwingend folgt, dass $\begin{align*} a_1=\ldots=a_n=0 \end{align*}$ ist. Im vorliegenden Fall muss man dazu nur die $\begin{align*} n \end{align*}$ Werte $\begin{align*} x=x_j \end{align*}$ für $\begin{align*} j=1,\ldots,n \end{align*}$ nacheinander mal einsetzen.

Zitat:

Original von Lynn2
die Summe $\begin{eqnarray*} l_k(x) := \sum_{k=0}^n l_k(x) \end{eqnarray*}$ eine konstante Funktion ist.

Anscheinend hast du dich verschrieben und meinst $\begin{eqnarray*} l(x) := \sum_{k=0}^n l_k(x) \end{eqnarray*}$ .

06.01.2016, 18:06

Lynn2

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Lineare Unabhängigkeit
Nullpolynom: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \alpha_k l_k(x) = 0 \end{eqnarray*}$
Aus $\begin{eqnarray*} l_k(x_i) = \begin{cases} 1 & \text{, falls}\ k = i \\ 0 & \text{, falls}\ k \neq i \end{cases} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 0 = \alpha_i \cdot 1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0~\forall i=0,...,n \end{eqnarray*}$ .

Stetige Funktion
Ja, ich meinte $\begin{eqnarray*} l(x) := \sum_{k=0}^n l_k(x) \end{eqnarray*}$ .

Omega-Funktion
Für $\begin{eqnarray*} \omega (x) = \prod_{i=0}^n (x-x_i) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \omega' (x) = \prod_{i=0}^n (-x_i) \cdot \sum_{j=0, j \neq i}^n (x-x_i) \end{eqnarray*}$ .

Jedoch verstehe ich nicht, warum das Produkt nicht den Index $\begin{eqnarray*} ~i \end{eqnarray*}$ annehmen darf. Magst du mir das bitte näher erläutern?
Ich habe es mir versucht an dem Beispiel n=3 zu veranschaulichen.
$\begin{eqnarray*} \omega (x) = \prod_{i=0}^3 (x-x_i) = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \omega' (x) = (-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3) + (x-x_1) \cdot (-x_2) \cdot (x-x_3) + (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot (-x_3) \end{eqnarray*}$

06.01.2016, 18:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lynn2
Für $\begin{eqnarray*} \omega (x) = \prod_{i=0}^n (x-x_i) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \omega' (x) = \prod_{i=0}^n (-x_i) \cdot \sum_{j=0, j \neq i}^n (x-x_i) \end{eqnarray*}$ .

Das ist falsch: Nach Multiplikationsregel gilt

$\begin{eqnarray*} \omega' (x) = \sum_{j=0}^n (x-x_j)'\cdot \prod_{i=0,i\neq j}^n (x-x_i) = \sum_{j=0}^n \prod_{i=0,i\neq j}^n (x-x_i) \end{eqnarray*}$ ,

letzteres schlicht wegen $\begin{eqnarray*} (x-x_j)' = 1 \end{eqnarray*}$ für alle j.

06.01.2016, 18:22

Lynn2

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Warum gilt $\begin{eqnarray*} (x-x_j)' = 1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (x-x_j)' = (-x_i) \end{eqnarray*}$ ? Ich leite doch nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Und warum muss $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ im Produkt gelten?

06.01.2016, 18:28

HAL 9000

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Was bestreitest du: $\begin{align*} (x)'=1 \end{align*}$ oder $\begin{align*} (x_j)'=0 \end{align*}$ (Ableitung einer Konstanten) ??? unglücklich

$\begin{eqnarray*} (x-x_j)' \stackrel{?}{=} (-x_i) \end{eqnarray*}$ ist völliger Humbug, es gilt allenfalls $\begin{eqnarray*} (x\cdot (-x_j))' = (-x_i) \end{eqnarray*}$ , was aber eine völlig andere Funktion ist.

Ansonsten: https://de.wikipedia.org/wiki/Produktreg...s_zwei_Faktoren

06.01.2016, 18:39

Lynn2

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Oh nein, wie peinlich! Entschuldige bitte, ich bestreite natürlich nichts. Augenzwinkern

06.01.2016, 18:42

Lynn2

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bezüglich der Omega-Funktion

$\begin{eqnarray*} l_k(x)=\frac{\prod_{i=0}^n (x-x_i)}{\sum_{j=0}^n \prod_{i=0,i\neq j}^n (x-x_i) \cdot (x-x_k)} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun hier zeigen, dass dies das Lagrangesche Grundpolynom darstellt?

06.01.2016, 18:43

HAL 9000

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Aufpassen: Im Nenner steht nicht $\begin{align*} \omega'(x) \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \omega'(x_k) \end{align*}$ . Rechne das doch bitte erstmal separat aus.

Und $\begin{eqnarray*} \frac{\prod\limits_{i=0}^n (x-x_i)}{(x-x_k)} = \prod\limits_{i=0,i\neq k}^n (x-x_i) \end{eqnarray*}$ sollte klar sein: Einfach "kürzen".

06.01.2016, 18:52

Lynn2

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Zitat:

Original von HAL 9000
nicht $\begin{align*} \omega'(x) \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \omega'(x_k) \end{align*}$

$\begin{eqnarray*} l_k(x)=\frac{\prod_{i=0}^n (x-x_i)}{\sum_{j=0}^n \prod_{i=0,i \neq j}^n (x_k-x_i) \cdot (x-x_k)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HAL 9000
Und $\begin{eqnarray*} \frac{\prod\limits_{i=0}^n (x-x_i)}{(x-x_k)} = \prod\limits_{i=0,i\neq k}^n (x-x_i) \end{eqnarray*}$ sollte klar sein: Einfach "kürzen".

$\begin{eqnarray*} l_k(x)= \frac {\prod_{i=0, i \neq k}^n (x-x_i)}{\sum_{j=0}^n \prod_{i=0,i \neq j}^n (x_k-x_i)} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} i=k \end{eqnarray*}$ gilt im Nenner $\begin{eqnarray*} \prod_{i=0,i \neq j}^n (x_k-x_i) = 0 \end{eqnarray*}$ .

06.01.2016, 18:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lynn2
Für $\begin{eqnarray*} i=k \end{eqnarray*}$ gilt im Nenner $\begin{eqnarray*} \prod_{i=0,i \neq j}^n (x_k-x_i) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Richtig. Nur für den Summanden j=k gibt es dann im Produkt kein i=k, d.h., dieser Summand bleibt, während die Summanden für die anderen j verschwinden. Langsam sollte sich der Nebel lichten. Augenzwinkern

06.01.2016, 19:07

Lynn2

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Daraus müsste dann folgen:
$\begin{eqnarray*} l_k(x)= \frac {\prod_{i=0, i \neq k}^n (x-x_i)}{ \prod_{i=0,i \neq k}^n (x_k-x_i)} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt? Augenzwinkern

06.01.2016, 19:22

HAL 9000

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Ja, und dann ist es ja nur noch ein winziger, eher formaler Schritt.

06.01.2016, 19:24

Lynn2

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RE: Lagrangesche Grundpolynome

Zitat:

Original von Lynn2
Zeigen Sie, dass ... die Summe $\begin{eqnarray*} l_k(x) := \sum_{k=0}^n l_k(x) \end{eqnarray*}$ eine konstante Funktion ist.

Wie kann ich dies zeigen?

06.01.2016, 19:25

Lynn2

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Zitat:

Original von HAL 9000
formaler Schritt

Du meinst sicherlich:
$\begin{eqnarray*} l_k(x)= \frac {\prod_{i=0, i \neq k}^n (x-x_i)}{ \prod_{i=0,i \neq k}^n (x_k-x_i)} = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac {(x-x_i)}{(x_k-x_i)} \end{eqnarray*}$

06.01.2016, 19:26

HAL 9000

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1) $\begin{align*} l(x) \end{align*}$ ist als Summe von Polynomen $\begin{align*} n \end{align*}$ -ter Ordnung selbst ein Polynom von maximal der Ordnung $\begin{align*} n \end{align*}$ .

2) Rechne mal $\begin{align*} l(x_k) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k=0,1,\ldots,n \end{align*}$ aus.

06.01.2016, 19:36

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} l_0(x)= \prod_{i=0, i \neq 0}^n \frac {(x-x_i)}{(x_0-x_i)} = \frac {(x-x_1)}{(x_0-x_1)} \cdot \frac {(x-x_2)}{(x_0-x_2)} \cdot ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l_1(x)= \prod_{i=0, i \neq 1}^n \frac {(x-x_i)}{(x_1-x_i)} = \frac {(x-x_0)}{(x_1-x_0)} \cdot \frac {(x-x_2)}{(x_1-x_2)} \cdot ... \end{eqnarray*}$
usw.

06.01.2016, 20:16

HAL 9000

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Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. Eine Antwort auf 2) gewinnt man jedenfalls bereits daraus:

Zitat:

Original von Lynn2
Aus $\begin{eqnarray*} l_k(x_i) = \begin{cases} 1 & \text{, falls}\ k = i \\ 0 & \text{, falls}\ k \neq i \end{cases} \end{eqnarray*}$

06.01.2016, 20:23

Lynn2

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Die Eindeutigkeit der Lagrangeschen Grundpolynome leuchtet mir ein, jedoch nicht was ich draus folgern kann, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} l(x) := \sum_{k=0}^n l_k(x) \end{eqnarray*}$ eine konstante Funktion ist.

06.01.2016, 20:25

Lynn2

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Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich zeigen, dass die folgenden beiden Punkte gelten.

Zitat:

Original von HAL 9000
1) $\begin{align*} l(x) \end{align*}$ ist als Summe von Polynomen $\begin{align*} n \end{align*}$ -ter Ordnung selbst ein Polynom von maximal der Ordnung $\begin{align*} n \end{align*}$ .

2) Rechne mal $\begin{align*} l(x_k) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k=0,1,\ldots,n \end{align*}$ aus.

Ist das korrekt?

06.01.2016, 20:39

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} l_k(x_i) = \begin{cases} 1 & \text{, falls}\ k = i \\ 0 & \text{, falls}\ k \neq i \end{cases} \end{eqnarray*}$
Durch das Einsetzen einer der Stützstelle ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} l(x_k) = \sum_{k=0}^n l_k(x_k) = 1 \end{eqnarray*}$

06.01.2016, 23:33

HAL 9000

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Richtig, und zwar für alle $\begin{align*} k \end{align*}$ . Damit hat das Polynom $\begin{align*} l(x)-1 \end{align*}$ mindestens die $\begin{align*} (n+1) \end{align*}$ Nullstellen $\begin{align*} x_0,x_1,\ldots,x_n \end{align*}$ , ist aber andererseits nur ein Polynom höchstens $\begin{align*} n \end{align*}$ -ten Grades ... Das bedeutet was?

06.01.2016, 23:44

Lynn2

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Ein Polynom n-ten Grades kann nur n Nullstellen haben. Wenn es jedoch (n+1) Nullstellen gibt, sind zwei Nullstellen nicht verschieden voneinander.

06.01.2016, 23:53

HAL 9000

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Nein, das ist es nicht - die $\begin{align*} x_0,x_1,\ldots,x_n \end{align*}$ sind sämtlich verschieden.

Zitat:

Original von Lynn2
Ein Polynom n-ten Grades kann nur n Nullstellen haben.

Ausnahme: Das Nullpolynom.

06.01.2016, 23:56

Lynn2

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Ich glaube, du musst mir etwas auf die Sprünge helfen. Ups

06.01.2016, 23:57

HAL 9000

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Na vielleicht denkst du einfach mal drüber nach - es liegt alles auf dem Tisch.

07.01.2016, 08:31

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} l(x_k) = \sum_{k=0}^n l_k(x_k) = 1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass das Lagrange Polynom ein Polynom nullten Grades ist. Die Stützstellen werden somit mittels einer Gerade interpoliert.

Durch deine Idee $\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{k=0}^n l_k(x_k) - 1 \end{eqnarray*}$ (Nullpolynom mit Grad n mit n+1 Nullstellen ) wird das Polynom horizontal nach unten verschoben.
Damit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n l_k(x_k) - 1 \end{eqnarray*}$ ein Nullpolynom sein kann, muss $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n l_k(x_k) \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit dem Wert 1 sein. Wenn ein Polynom einen Wert ohne Variable annimmt, ist das Polynom eine konstante Funktion.

07.01.2016, 08:44

HAL 9000

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Manches ist etwas eigenartig formuliert, vor allem ist die Reihenfolge deiner Kausalkette etwas seltsam. Aber im Endergebnis stimmt es, es ist $\begin{align*} l(x)=1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} l \end{align*}$ ist eine konstante Funktion.

07.01.2016, 09:06

Lynn2

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Zitat:

Original von HAL 9000
Manches ist etwas eigenartig formuliert, vor allem ist die Reihenfolge deiner Kausalkette etwas seltsam.

Durch $\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{k=0}^n l_k(x_k) - 1 \end{eqnarray*}$ (Nullpolynom mit Grad n mit n+1 Nullstellen ) wird das Polynom horizontal nach unten verschoben.

Damit muss $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n l_k(x_k) \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit dem Wert 1 sein.

$\begin{eqnarray*} l(x_k) = \sum_{k=0}^n l_k(x_k) = 1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass das Lagrange Polynom ein Polynom nullten Grades ist. Die Stützstellen werden somit mittels einer konstanten Funktion (Geraden) interpoliert.

Ist der Gedankengang so besser und sinnvoller formuliert? Augenzwinkern

07.01.2016, 10:11

HAL 9000

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Ja, so in etwa. Man sollte natürlich beachten (hatte ich oben in meinen Beschreibungen auch stets drauf geachtet), dass $\begin{align*} l(x) \end{align*}$ bzw. dann auch $\begin{align*} l(x)-1 \end{align*}$ nicht ein Polynom n-ten Grades, sondern als Summe von Polynomen n-ten Grades ein Polynom maximal n-ten Grades ist (durch Summation von Polynomen kann es ggfs. zu Auslöschungen der höheren Potenzen kommen): Denn es stellt sich ja gerade am Ende heraus, dass es kein Polynom n-ten Grades, sondern nur ein Polynom 0-ten Grades (=Konstante) ist - das ist ja der Witz an der ganzen Geschichte. Augenzwinkern

07.01.2016, 11:15

Lynn2

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RE: Lagrangesche Grundpolynome
Vielen Dank. smile

Ich habe noch eine weitere Aufgabe bezüglich der Lagrangeschen Grundpolynomeund würde mich freuen, wenn du mir auch da weiterhelfen könntest.
Und zwar möchte ich für die Lagrangeschen Grundpolynome $\begin{eqnarray*} l_k(x) := \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i} \end{eqnarray*}$ die Normalform des Polynoms $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (x-2x_k)^2 \frac{d}{dx} l_k(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Wie fange ich da am besten an?
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (x-2x_k)^2 \frac{d}{dx} \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i} \end{eqnarray*}$

07.01.2016, 14:13

HAL 9000

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Hmm, mir ist nicht ganz klar, worauf das hinauslaufen soll (sicher, dass der Term stimmt?), aber rechne doch einfach mal drauflos, wieder mit der verallgemeinerten Produktregel. Vielleicht "lohnt" es sich auch, die ganz vorn ja mal bewiesene Darstellung $\begin{align*} l_k(x) = \frac{\omega(x)}{\omega'(x_k)\cdot (x-x_k)} \end{align*}$ hier anzuwenden?

07.01.2016, 18:17

Lynn2

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______________________________________________________________

Hinweis von meinem Dozenten:

Summe in einzelne Summen aufsplitten, die Eindeutigkeit des Lagrangeschen Grundpolynome ausnutzen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n x_k^n \cdot l_k(x) = x_i^n \cdot 1 \end{eqnarray*}$ und anschließend ableiten
______________________________________________________________

$\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (x-2x_k)^2 \frac{d}{dx} \cdot l_k(x) = (x-2x_i)^2 \frac{d}{dx} \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Wäre dies bezüglich des Hinweises richtig?

07.01.2016, 20:56

Lynn2

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Eine andere Vorgehensweise:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (x-2x_k)^2 \frac{d}{dx} \cdot l_k(x) = \sum_{k=0}^n (x^2-4x \cdot x_k + 4x_k^2) \frac{d}{dx} \cdot l_k(x) = \sum_{k=0}^n x^2 \frac{d}{dx} \sum_{k=0}^n (-4x \cdot x_k + 4x_k^2) \frac{d}{dx} \cdot l_k(x) = \sum_{k=0}^n x^2 \frac{d}{dx} ( (-4x \cdot x_i + 4x_i^2) \frac{d}{dx} \cdot 1) \end{eqnarray*}$

08.01.2016, 10:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n x_k^n \cdot l_k(x) = x_i^n \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Wo kommt das $\begin{align*} i \end{align*}$ her? verwirrt

Oder sprichst du von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n x_k^n \cdot l_k(x_i) = x_i^n \cdot 1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Da muss ich wieder auf

Zitat:

Original von HAL 9000
(sicher, dass der Term stimmt?)

verweisen - ich hab nämlich langsam den Eindruck, dass du es in dieser Hinsicht an Sorgfältigkeit vermissen lässt. unglücklich

08.01.2016, 10:53

Lynn2

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Ich hab nochmal nachgeschaut. Der Term $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (x-2x_k)^2 \frac{d}{dx} l_k(x) \end{eqnarray*}$ stimmt. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n x_k^n \cdot l_k(x) = x_i^n \cdot 1 \end{eqnarray*}$ folgt aus dem Einsetzen der Stützstellen.

08.01.2016, 10:56

HAL 9000

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Wenn du einfach nur $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n x_k^n \cdot l_k(x) = x_i^n \cdot 1 \end{eqnarray*}$ ohne weitere Erläuterung schreibst, dann nehme ich an du meinst, dass das für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gelten soll. Und das ist offensichtlich nicht der Fall, ich würde das sogar als groben Unfug bezeichnen.

EDIT: Jetzt langsam geht mir erst auf, was du in Wahrheit meinst:

Für $\begin{align*} m=0,1,\ldots,n \end{align*}$ bezeichne $\begin{align*} g_m(x):= \sum_{k=0}^n x_k^m l_k(x) \end{align*}$ , das ist wieder (wie oben) ein Polynom maximal $\begin{align*} n \end{align*}$ -ter Ordnung.

Durch Berechnung erhält man $\begin{align*} g_m(x_i) = x_i^m \end{align*}$ für $\begin{align*} i=0,1,\ldots,n \end{align*}$ , das entspricht genau den Funktionswerten von $\begin{align*} x\mapsto x^m \end{align*}$ . Zwei Polynome maximal $\begin{align*} n \end{align*}$ -ten Grades, die an (mindestens) $\begin{align*} n+1 \end{align*}$ verschiedenen Stellen übereinstimmen, müssen aber identisch sein (dieselbe Begründung wie oben bei dem $\begin{align*} l(x)-1 \end{align*}$ ).

D.h., am Ende meinst du tatsächlich $\begin{align*} \sum_{k=0}^n x_k^m l_k(x) = x^m \end{align*}$ (ohne das verdammte i als Index rechts), wobei du es nur für den Fall $\begin{align*} m=n \end{align*}$ formuliert hast, aber es gilt eben auch für $\begin{align*} m=0,1,\ldots,n-1 \end{align*}$ . (Für die Lösung der Aufgabe ist es jedenfalls ziemlich hilfreich, das auch für diese kleineren m zu haben.)

Warum du das trotz meiner ausdrücklichen Bitte um Überprüfung nicht korrigiert hast, finde ich schon ziemlich enttäuschend - und bedenklich, was eine weitere vertrauensvolle Zusammenarbeit im Thread betrifft. unglücklich

10.01.2016, 21:54

Lynn2

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Zitat:

Original von HAL 9000
Warum du das trotz meiner ausdrücklichen Bitte um Überprüfung nicht korrigiert hast, finde ich schon ziemlich enttäuschend - und bedenklich, was eine weitere vertrauensvolle Zusammenarbeit im Thread betrifft.

Das tut mir leid, ich habe gedacht, du sprichstt von einer anderen Gleichung.

Zitat:

Original von HAL 9000
D.h., am Ende meinst du tatsächlich $\begin{align*} \sum_{k=0}^n x_k^m l_k(x) = x^m \end{align*}$ (ohne das verdammte i als Index rechts), wobei du es nur für den Fall $\begin{align*} m=n \end{align*}$ formuliert hast, aber es gilt eben auch für $\begin{align*} m=0,1,\ldots,n-1 \end{align*}$ . (Für die Lösung der Aufgabe ist es jedenfalls ziemlich hilfreich, das auch für diese kleineren m zu haben.)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n x_k^m l_k(x) = x^m \end{eqnarray*}$

Deine Herleitung/ Begründung diesbezüglich habe ich verstanden. Vielen Dank dafür. smile

Lösungsansatz

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (x-2x_k)^2 \frac{d}{dx} \cdot l_k(x) = \sum_{k=0}^n (x^2-4x \cdot x_k + 4x_k^2) \frac{d}{dx} \cdot l_k(x) = \sum_{k=0}^n x^2 \frac{d}{dx} \cdot l_k(x) + \sum_{k=0}^n -4x \cdot x_k \frac{d}{dx} \cdot l_k(x) + \sum_{k=0}^n 4x_k^2 \frac{d}{dx} \cdot l_k(x) \end{eqnarray*}$

Ist der Lösungsansatz so richtig gewählt und sinnvoll entsprechend des folgenden Hinweises?

Zitat:

Original von Lynn
Hinweis von meinem Dozenten:

Summe in einzelne Summen aufsplitten, die Eindeutigkeit des Lagrangeschen Grundpolynome ausnutzen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n x_k^n \cdot l_k(x) = x^n \cdot 1 \end{eqnarray*}$ und anschließend ableiten

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