Komplexe Form

06.01.2016, 19:42	Punkbuster1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Form Meine Frage: Hallo Leute, ich habe noch mal ne Frage zur Komplexen Darstellung. Wie kommt man von: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2(1+i)} \end{eqnarray}$ auf: $\begin{eqnarray} \frac{e^{i\frac{\pi }{4}}}{2\sqrt2} \end{eqnarray}$ Vielen Dank im Vorraus Meine Ideen:* Leider habe ich über haupt kein Ansatz.
06.01.2016, 20:09	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Form Stelle zunächst $\begin{eqnarray} \frac{1}{2+2i} \end{eqnarray}$ in der Form $\begin{eqnarray} a+bi \end{eqnarray}$ dar und nutze dann, dass gilt: $\begin{eqnarray} r \cdot \exp(\phi \cdot i)=r \cdot \left( \cos (\phi) + i \sin (\phi) \right) \end{eqnarray}$ Dabei ist r der Radius.
06.01.2016, 20:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Form Gar nicht, die beiden Zahlen sind verschieden.
06.01.2016, 20:48	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Form Selber nachrechnen hilft, URL hat recht, es ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2+2i} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \exp \left( \frac{3}{4} \pi i \right) \end{eqnarray}$
06.01.2016, 21:23	Punkbuster1991	Auf diesen Beitrag antworten »
So Problem gelöst: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2(1+i)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{2+2i} \end{eqnarray}$ Dann Konjugiert komplex erweitern mit $\begin{eqnarray} \frac{(1-i)}{2(1-i)(1+i)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1-i}{4} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{i}{4} \end{eqnarray}$ Dann folgt der Radius mit: $\begin{eqnarray} \sqrt{(\frac{1}{4})^2 +(-\frac{1}{4})^2 } = \frac{\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray}$ Das lässt sich anders schreiben als: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} }{2} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Jetzt ein Trick: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt2} \end{eqnarray}$ Also ist unser Radius: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ Jetzt zum zur E Funktion $\begin{eqnarray} arctan(\frac{1/4}{-1/4} ) = arctan(-1) = \frac{1}{4}\pi \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2+2i} = \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-i\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$
06.01.2016, 21:28	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Achte auf den Definitionsbereich des Tangens, dieser ist "nur" $\begin{eqnarray} \left[ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray}$ ............ Es ist $\begin{eqnarray} \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ . Du brauchst aber den winkel, für den gilt $\begin{eqnarray} \sin \left( \phi \right) = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ Also noch mal überdenken....... Bei Tangens bzw. arctan ist der eingeschränkte Definitionsbereich bzw. Wertebereich zu beachten!
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