Ebene E2 erstellen die || zu E1 und Gerade g enthält?

07.01.2016, 19:39

jDave

Ebene E2 erstellen die || zu E1 und Gerade g enthält?

Meine Frage:
Hey Leute habe folgende Aufgabe:

Erstelle eine Gleichung von der Ebene E*, die parallel zur Ebene E verläuft und die Geradengleichung g enthält.

$\begin{eqnarray*} E: 8x - 2y - 7z + 3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
auf jeden Fall kommt man schonmal auf diese Form für E*:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+ K \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aber wie kommt man jetzt auf den 2. Punkt auf der Ebene E* ?

07.01.2016, 20:29

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Gehe besser den Weg über die Koordinatenform der Ebene. Das wird etwas schneller gehen. Da die Ebene parallel verlaufen soll ist der Normalenvektor bekannt und Du brauchst nur noch dafür zu sorgen, dass die Gerade auch darin enthalten ist.

07.01.2016, 20:57

jDave

Auf diesen Beitrag antworten »

wie löst man jedoch d bei $\begin{eqnarray*} 8x_1 - 2x_2 - 7x_3 + d = 0 \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2016, 21:28

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Die komplette Gerade soll doch in der Ebene liegen. Da findest Du bestimmt einen Punkt, der in der Ebene liegen muss.

07.01.2016, 21:41

jDave

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok

also $\begin{eqnarray*} 8*1 - 2*(-2) - 7*1 + d = 0 \end{eqnarray*}$ (Aufvektor von der Geraden in E* eingesetzt)

==> $\begin{eqnarray*} d= -5 \end{eqnarray*}$

==> $\begin{eqnarray*} 8x_1 - 2x_2 -7x_3 -5 = 0 \end{eqnarray*}$

oder ? stimmt das ?

07.01.2016, 22:35

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Da Helferlein gerade offline ist:

Ja, das ist richtig.

Zitat:

auf jeden Fall kommt man schonmal auf diese Form für E*:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+ K \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Noch als Ergänzung:

Hier wäre es noch möglich gewesen, für den zweiten Richtungsvektor das Kreuzprodukt des Normalenvektors der Ebene und des Richtungsvektors der Geraden zu bilden.
Warum das Sinn macht, kann man sich vielleicht anhand einer Skizze klarmachen.
Hintergrund ist, dass das Kreuzprodukt einen Vektor liefert, der senkrecht zu den beiden multiplizierten Vektoren steht.

08.01.2016, 07:44

jDave

Auf diesen Beitrag antworten »

Super ! Vielen Dank ! Wink

Neue Frage »

Antworten »

Ebene E2 erstellen die || zu E1 und Gerade g enthält?

Verwandte Themen