Komplexe Zahlen

07.01.2016, 21:09

Fenja

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Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Wir haben folgende Aufgabe bekommen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\sqrt{2} - \sqrt{6i}\right) ^{4} }{ \left(\sqrt{3} -i\right) ^{2} } \end{eqnarray*}$
und sollen
Realteil und Immaginärteil bestimmen.

Meine Ideen:
Muss ich hier erstmal die Klammern Lösen ?
Oder Komplex Konjungieren ?

07.01.2016, 21:13

HAL 9000

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Schau mal bitte genau nach, ob da wirklich $\begin{align*} \sqrt{6i} \end{align*}$ steht, oder doch eher $\begin{align*} \sqrt{6}i \end{align*}$ .

08.01.2016, 13:14

Fenja

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Komplexe Zahlen
Ups Sorry.
Haal 9000 Sie hatten recht.

ich schreiben das nochmal richtig hin

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\sqrt{2}- \sqrt{6} i \right) ^{4} }{\left(\sqrt{3} - i \right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

08.01.2016, 14:35

HAL 9000

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RE: Komplexe Zahlen
Es gibt viele Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge man die Berechnung dieses Terms angeht.

a) Mein Vorschlag wäre

$\begin{align*} \frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}i\right)^4}{\left(\sqrt{3}-i\right)^2} = \frac{\left(\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}i\right)^2\right)^2}{\left(\sqrt{3}-i\right)^2} = \left( \frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}i\right)^2}{\sqrt{3}-i} \right)^2 \end{align*}$ ,

d.h. erstmal $\begin{align*} (\sqrt{2}-\sqrt{6}i)^2 \end{align*}$ ausrechnen (binomische Formel), dann das Ergebnis durch $\begin{align*} \left(\sqrt{3}-i\right) \end{align*}$ teilen (hier greift dann das von dir erwähnte "konjugiert komplexe" multiplizieren), und den Gesamtquotienten quadrieren.

b) Alternativ kannst du natürlich auch bei $\begin{align*} \sqrt{2}-\sqrt{6}i \end{align*}$ und $\begin{align*} \sqrt{3}-i \end{align*}$ jeweils zu Polarkoordinaten übergehen, mit denen lassen sich die Potenzen und Quotienten besser berechnen. Zum Schluss ist dann allerdings auch wieder eine Rücktransformation nötig.

Beide Wege haben ihre Vor- und Nachteile, entscheide selbst.

08.01.2016, 18:24

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
ich habe jetzt die Binomische Formmel angewendet.

und folgendes raus bekommen:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} )^{2 } + 2\sqrt{2} \sqrt{6}i + \sqrt{6}i^{2} \end{eqnarray*}$
ist das richtig soweit?

08.01.2016, 22:03

URL

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RE: Komplexe Zahlen
Nein. $\begin{eqnarray*} (a-b)^2=? \end{eqnarray*}$

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10.01.2016, 13:18

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
Also $\begin{eqnarray*} \left(a-b\right)^{2} = a^2-2ab-b^2 \end{eqnarray*}$

demnach habe ich so gedacht :

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}- \sqrt{6}i \right) ^{2} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = a, \sqrt{6}i = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} )^{2 } - 2\sqrt{2} \sqrt{6}i - \sqrt{6}i^{2} \end{eqnarray*}$

10.01.2016, 13:43

URL

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(a-b\right)^{2} = a^2-2ab\textcolor{red}{-}b^2 \end{eqnarray*}$

Autsch!

13.01.2016, 14:04

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
ja autsch... sorry.

also so ?
Dann Pq Formel anwenden?

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} )^{2 } - 2\sqrt{2} \sqrt{6}i + \sqrt{6}i^{2} \end{eqnarray*}$

13.01.2016, 14:24

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen
Mit Pq-Formel hat das nichts zu tun. Ich weiß auch nicht, ob du nur aus Nachlässigkeit Klammern vergessen hast. Korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} )^2 - 2\sqrt{2} \sqrt{6}i + (\sqrt{6}i)^2 \end{eqnarray*}$

Außerdem kann man $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ noch etwas vereinfachen. smile

smile

13.01.2016, 14:55

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
gut Dankeschön. das liegt eher wohl an der mangelenden Übung.

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} )^2 - \sqrt{12} \ + (\sqrt{6}i)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) ^{2} = 2 und (\sqrt{6}) ^{2} = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 -\sqrt{12} + 6i \end{eqnarray*}$

Insgesamt dann :

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{2 -\sqrt{12} + 6i}{\sqrt{3}-i } \right) ^{2} \end{eqnarray*}$ ?

13.01.2016, 15:03

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Fenja
mangelenden

In diesem Wort steckt das Wort "Elend", und das drückt die Situation ganz gut aus. Big Laugh

Big Laugh

Also: 1. Bei der $\begin{eqnarray*} \sqrt{12} \end{eqnarray*}$ haben noch ein paar Sachen mehr gestanden. Wo sind diese geblieben?
2. Wie bist du von $\begin{eqnarray*} (\sqrt 6 i)^2 \end{eqnarray*}$ auf 6i gekommen?

13.01.2016, 15:17

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
Ehlend ist noch untertrieben Big Laugh

Big Laugh

also $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{12} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (\sqrt 6 i)^2 = 6*i^2 \end{eqnarray*}$

ist das richtig ?

13.01.2016, 15:19

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Fenja
also $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{12} \end{eqnarray*}$

Und wo ist das i geblieben? Übrigens kann man auch aus der $\begin{eqnarray*} \sqrt{12} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ machen. smile

smile

Zitat:

Original von Fenja
$\begin{eqnarray*} (\sqrt 6 i)^2 = 6*i^2 \end{eqnarray*}$

Korrekt.

13.01.2016, 15:40

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
so ?
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{2 - 2\sqrt{3}i + 6i}{\sqrt{3}-i } \right) ^{2} \end{eqnarray*}$

Oh Gott und was mache ich jetzt ?

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{2 - 2\sqrt{3}i + 6i}{\sqrt{3}-i } \right) * \left(\frac{2 - 2\sqrt{3}i + 6i}{\sqrt{3}-i } \right) \end{eqnarray*}$ ´

das ?

13.01.2016, 15:48

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Fenja
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{2 - 2\sqrt{3}i + 6i}{\sqrt{3}-i } \right) ^{2} \end{eqnarray*}$

Wo kommt denn jetzt das 6i wieder her? Du hattest doch 6i², was gemeinhin gleich -6 ist.

Als nächstes erweiterst du den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners.

13.01.2016, 16:28

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
Sorry das war unaufmerksam von mir.

$\begin{eqnarray*} \frac{2 - 2\sqrt{3}i -6 }{\sqrt{3}-i }* \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}+i} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \frac{(-4 - 2\sqrt{3}i)*(\sqrt{3}+i) }{(\sqrt{3}-i)*(\sqrt{3}+i)} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig ?

13.01.2016, 16:33

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
bzw. so

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{(-4 - 2\sqrt{3}i)*(\sqrt{3}+i) }{(\sqrt{3}-i)*(\sqrt{3}+i)} \right) ^{2} \end{eqnarray*}$

13.01.2016, 17:04

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
ich befürchte dass ich bei. $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{3} i \end{eqnarray*}$
hätte $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
i schreiben sollen

13.01.2016, 17:08

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen
Genau. Nun multipliziere als nächstes den Zähler aus. Und der Nenner ist ja jetzt von der Form (a+b)(a-b)=...

13.01.2016, 18:19

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
Danke.
habe jetzt -16 i raus das müsste richtig sein..
oder ?

13.01.2016, 19:04

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen
Da dürfte noch eine Kleinigkeit falsch sein. Was für eine Zahl steht in der Klammer, die quadriert wird?

13.01.2016, 20:32

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
ah ist doch nicht richtig als Ergebniss haben wir -16+0*i raus das ist ja nicht 16i

13.01.2016, 20:34

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
Äh ich weiß jetzt nicht genau was du meinst.

soll ich eben mein Rechenweg Abfotografieren?

13.01.2016, 21:15

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Fenja
als Ergebniss haben wir -16+0*i

Prima, das ist korrekt.

Viele Grüße
Steffen

16.01.2016, 23:46

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
Vielen Dank Steffen !

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