Komplexe Zahlen

07.01.2016, 21:22

Fenja

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Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Wir haben Folgende Aufgabe bekommen:
Und sollen Realteil und Imaginärteil berechnen.

$\begin{eqnarray*} \left(i + e^{-3\pi i}\right) ^{14} \end{eqnarray*}$

was wäre der erste Schritt ?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} i^{14} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \left( e^{-3\pi i} \right) ^{14} \end{eqnarray*}$

07.01.2016, 21:52

Dopap

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grober Fehler:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{14} \neq a^{14}+b^{14} \end{eqnarray*}$

kannst du $\begin{eqnarray*} \exp(-3\pi i) \end{eqnarray*}$ kartesisch darstellen? ( Normaldarstellung )

08.01.2016, 13:26

Fenja

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Komplexe Zahlen
Kathesische Form bedeutet ja,
a + bi

in unseren Fall währe das doch -3 ist der Realteil und pi der Imaginärteil
d.h $\begin{eqnarray*} Z= -3 + \pi i \end{eqnarray*}$

08.01.2016, 14:31

Dopap

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na ja, vllt schaust du dir mal die Grundlagen zu komplexen Zahlen mal an.

$\begin{eqnarray*} \exp(-3\pi i) \end{eqnarray*}$ hat den Betrag=Radius =1 und das Argument = Winkel = $\begin{eqnarray*} -\pi=\pi \end{eqnarray*}$ = 1.5 "Umdrehungen" . demnach ist

$\begin{eqnarray*} \exp(-3\pi i)= -1 \end{eqnarray*}$ Also bleibt

$\begin{eqnarray*} z=(-1+i)^{14} \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten:

1.) Binomische Formel mit n=14 ( dauert ein wenig !)

2.) z in Polarkoordinaten mit Betrag und Winkel umformen und dann hoch 14

08.01.2016, 14:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} z=(-1+i)^{14} \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten:

Ich würde mal noch Möglichkeit 3 anbieten: $\begin{align*} z = \left( (-1+i)^2 \right)^7 \end{align*}$ , mein persönlicher Favorit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2016, 16:12

Dopap

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Schön wenn man so'was sieht. Nur wie soll man das - in diesem Stadium - motivieren ?

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08.01.2016, 19:23

Bjoern1982

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Naja, du hast geschrieben es gäbe 2 Möglichkeiten.
Der dir vertrauende Leser geht dann wohl auch davon aus, dass er sich genau an diese beiden Möglichkeiten halten sollte.
Es den Fragesteller/Mitleser mit dem binomischen Lehrsatz machen zu lassen, grenzt ja schon fast an Bestrafung. Big Laugh

Big Laugh

Die Motivation könnte daher ja in der Tat sein, solch einen Aufwand möglichst zu vermeiden.
Und sehr weit hergeholtes um die Ecke Denken oder Sehen würde ich hier auch gar nicht unterstellen.
Es gehört meines Erachtens auch einfach zu einem fruchtbaren Gedanken bei der Verinnerlichung beim Potenzieren von komplexen Zahlen in kartesischer Form (besonders beim Exponent 2).
Dass eben bei sowas wie (a+ai)² der Realanteil wegfällt, kann/sollte man sich daher eben einfach merken.
Und selbst wenn einem das dann nicht einfällt, dann sollte man das Auge dafür haben, tunlichst aus praktischen Gründen (gerade in einer Klausur unter Zeitdruck) deine zweite Möglichkeit mit den Polarkoordinaten zu nehmen.

Soweit meine kurze Einschätzung und damit bin ich auch sofort wieder aus. Wink

Wink

13.01.2016, 14:13

Fenja

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Wenn ich in Polarkoordinaten umforme..
Z = r ( cos (fi) + i sin (fi))

oder was ist der Ansatz ?

13.01.2016, 14:19

klarsoweit

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Im Prinzip ja, wobei dann für die weitere Rechnung die Darstellung $\begin{eqnarray*} z = r \cdot e^{i \phi} \end{eqnarray*}$ die bessere Wahl ist. smile

smile

13.01.2016, 15:05

Fenja

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Fenja
Ich verstehe das trotzdem sehr schwer.

bei $\begin{eqnarray*} z = r \cdot e^{i \phi} \end{eqnarray*}$

muss ich den Wert r haben und den Wert für phi
r ist ja die länge
phi der Winkel.

wo bekomme ich das her ?

13.01.2016, 15:15

klarsoweit

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RE: Fenja
Also das sind jetzt aber elementare Grundlagen. r ist der Betrag der komplexen Zahl und phi ist das Argument, also der Winkel zur positiven Realteil-Achse.

13.01.2016, 15:29

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
$\begin{eqnarray*} <br /> r = a + bi,<br /> r=\sqrt{-1^2+i^2},<br /> r= 1+-1= 1-1 =0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} phi = arctan (b/a),<br /> phi = arctan(-1/i) \end{eqnarray*}$

13.01.2016, 15:42

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Fenja
$\begin{eqnarray*} <br /> r = a + bi,<br /> r=\sqrt{-1^2+i^2},<br /> r= 1+-1= 1-1 =0 \end{eqnarray*}$

Das ist schon mal komplett falsch. Schon das Ergebnis sollte dich stutzig machen. Die einzige komplexe Zahl mit r=0 ist 0 + 0*i = 0.

Für z = a + bi ist $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$ .

Auch die Berechnung von phi ging daneben. Überlege dir genau, was a und b ist.

13.01.2016, 16:50

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
ist b vielleicht $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?

13.01.2016, 17:25

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap
na ja, vllt schaust du dir mal die Grundlagen zu komplexen Zahlen mal an.

13.01.2016, 20:26

Fenja

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Also manche Aufgabe kann ich ja rechnen bloß bei Euler nicht.

Ich habe den ganzen Internet abgesucht um etwas für mich verständliches zu finden.

Eigentlich bräuchte ich eine Schritt für Schritt Rechnung oder irgendwo eine Sehr ähnliche Aufgabe traurig

traurig

13.01.2016, 21:19

Steffen Bühler

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Wenn die komplexe Zahl -1+i ist und das Schema a+bi lautet, was ist dann a? Und was ist b?

Ansonsten: [WS] Komplexe Zahlen

13.01.2016, 21:30

Fenja

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a ist -1 b ist 1

13.01.2016, 21:38

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen
Prima! Und nun

$\begin{eqnarray*} <br /> r=\sqrt{a^2+b^2}<br /> <br /> \varphi = \arctan \frac ba + \pi \end{eqnarray*}$

Also?

16.01.2016, 23:31

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
Entschuldigung für die längere Pause musste spontan was für anderen Fach schnell erledigen.

also zur Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und
phi = -45 °

17.01.2016, 12:26

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen
Der Radius ist richtig, der Winkel ist falsch. Rechne noch mal nach.

Und dann hoch 14 mit den Potenzgesetzen.

17.01.2016, 13:25

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
Ah ich habe + pi vergessen.

$\begin{eqnarray*} arctan (\frac{- 1}{1} )= -45 \end{eqnarray*}$

- 45 + pi zeigt mein Rechner - 41.86 an.

17.01.2016, 13:28

Fenja

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RE: Komplexe Zahlen
kann ich mir das so merken, dass pi allgemei mit dazu addiert wir ? bei so einer Aufgabe ..

17.01.2016, 13:30

Dopap

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entweder -45° +180° oder

-pi/4 + pi.

17.01.2016, 13:58

Steffen Bühler

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Dopap hat ja schon angemerkt, dass Du entweder beides im Gradmaß oder Bogenmaß angeben musst, Mischen ist verboten!

Merke: wenn der Realteil negativ ist, wird Pi addiert.

Gut, dann weiter. Was hast Du nach dem Potenzieren raus?

17.01.2016, 14:10

Fenja

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Ja stimmt also so ist das dann Zwischenergebnis ja ?

$\begin{eqnarray*} \left(-\frac{\pi }{4} + \pi \right) ^{14} \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt mit den Bin. Formeln hoch 14 rechnen oder Wie geht das ?

17.01.2016, 14:21

Steffen Bühler

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Nein, das Zwischenergebnis ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \cdot e^{i \cdot (- \frac {\pi}4 +\pi)} \end{eqnarray*}$ .

Und das jetzt hoch 14. Also, wie immer, Betrag hoch 14 und Winkel mal 14.

17.01.2016, 14:34

Fenja

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$\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \cdot e^{i \cdot (- \frac {\pi}4 +\pi)} \end{eqnarray*}$ .

Der Winkel ist ja phi.
und den Winkel mal 14 zu nehmen

$\begin{eqnarray*} \left(-\frac{\pi }{4} + \pi \right) * 14 = ( -\frac{\pi }4 *14) + (14\pi ) \end{eqnarray*}$

Meinst du so ?

\left(\sqrt{2} \right) ^{14}

17.01.2016, 14:39

Steffen Bühler

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Richtig. Wie lautet Betrag und Winkel des Ergebnisses?

17.01.2016, 14:59

Fenja

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(\sqrt{2} )
^{14} = 128

$\begin{eqnarray*} \left(-\frac{\pi }{4} + \pi \right) * 14 = ( -\frac{\pi }4 *14) + (14\pi ) \end{eqnarray*}$

habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{21\pi }{2} \end{eqnarray*}$ raus

17.01.2016, 15:04

Steffen Bühler

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Beides ist richtig.

Es sieht beim Winkel besser und einfacher aus, wenn Du ihn zwischen 0 und 2pi lässt. Beim Winkel einer komplexen Zahl darfst Du nämlich beliebig oft 2pi addieren oder subtrahieren, sie bleibt dieselbe.

Mach das doch noch, und dann schreib die Zahl mathematisch korrekt auf.

Edit: Oh, ich sehe gerade, Du sollst Real- und Imaginärteil berechnen. Dann kannst Du Dir das alles sparen (es schadet aber auch nichts) und mit cos und sin gleich weiter machen.

17.01.2016, 18:11

Fenja

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Danke Steffen,
ich habe wenigsten jetzt mehr überblich über solche Aufgaben. aber bevor ich weitermchen kann. Habe 2 punkte.

1. Ich habe das nicht ganz verstanden wie man von exp (-3pi)
auf -1 und 1 kommt den Rest konnte ich sehr gut nachvollziehen was du mir erklärt hattest.

2 Als Ergebniss wurde uns vorgegeben : 0 + 128 *i wir haben doch 2 ipi /2 raus.
wie komme ich drauf?

17.01.2016, 18:25

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Fenja
Ich habe das nicht ganz verstanden wie man von exp (-3pi) auf -1 und 1 kommt

Die Zahl $\begin{eqnarray*} 1 \cdot e^{ - 3 \pi \cdot i} \end{eqnarray*}$ hat den Betrag 1 und den Winkel -3pi. Nun stell Dir die komplexe Ebene vor. Die Winkel sind ja die Richtungen der Zeiger. 3 Uhr sind Winkel 0, 12 Uhr sind pi/2, 9 Uhr sind pi und 6 Uhr sind 3pi/2. Und wenn wir andersrum drehen, sind eben -pi/2 6 Uhr, -pi sind 9 Uhr und so weiter.

Nun stell den Zeiger mal auf -3pi. Wo steht er dann?

Zitat:

Original von Fenja
wir haben doch 2 ipi /2 raus.

Aber nein! Wir haben eine Zahl mit Betrag 128 und Winkel 21pi/2 raus. Nun wandle diese Polardarstellung wieder kartesisch um.

Viele Grüße
Steffen

17.01.2016, 18:52

Fenja

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Ah auf 9 Uhr d.h. -1 okay..

Okay um in Kathesische Form umzuwandeln :

erstmal der Betrag 128 zu r machen .. damit wäre r = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

21pi/2 muss ich dann die rückfunktion von arctan (b/a) verwenden ?

17.01.2016, 18:56

Steffen Bühler

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Nein, der Betrag ist r und somit ist r=128.

Die Formel, die Du jetzt brauchst, ist

$\begin{eqnarray*} r \cdot e^{\varphi i}=r \cdot ( \cos \varphi + i \cdot \sin \varphi ) \end{eqnarray*}$ .

Klingt vertraut?

17.01.2016, 19:25

Fenja

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Okay ich habe jetzt folgendes raus :

$\begin{eqnarray*} r * (cos(phi) + i sin (phi)) = r* ( cos (\frac{21\pi }{2}) + i sin (\frac{21\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} = 128 * (0.0838 + i*0.544) = 107.26 + 69.688i \end{eqnarray*}$

17.01.2016, 20:22

Steffen Bühler

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Stell Deinen Taschenrechner auf RAD. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.01.2016, 16:08

Fenja

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Oh man bin ich doof.. Hammer

Hammer

18.01.2016, 21:08

Fenja

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Ich habe das auf RAD umgestellt, habe trotzdem nicht das Ergebnis raus :-(
bin anscheinend zu blöd dazu.

$\begin{eqnarray*} 128 * (cos (32.98) + i\cdot sin (32.98)) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 128 * (0,006 + i\cdot 0,99) \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} 0,768 +i\cdot 128 \end{eqnarray*}$

18.01.2016, 21:14

Steffen Bühler

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Keine Panik, das sind nur Rundungsfehler.

Es geht eh auch ohne Taschenrechner. Bedenke, dass der Cosinus von allen ungeradzahligen Vielfachen von pi/2 Null ist! Und der Sinus ist bei k*pi/2 abwechselnd 1 und -1. Versuch Dir das ebenfalls am besten mit unserem Uhrzeiger klarzumachen.

Viele Grüße
Steffen

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