Formel zu Quaternionen erklären

08.01.2016, 13:07	compact_123	Auf diesen Beitrag antworten »
Formel zu Quaternionen erklären Meine Frage: folgende Formel mein ich: $\begin{eqnarray} x^{}= qxq^{-1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich hab schon einiges im Internet gelesen aber nie genau wieso diese Formel herauskommt.
08.01.2016, 14:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist Du ganz sicher, dass die Formel so aussieht ? Links steht $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und rechts steht $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ . Das passt nicht zusammen. Vielleicht ist das zu $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ konjugierte Element $\begin{eqnarray} x^q:=qxq^{-1} \end{eqnarray}$ gemeint, und das ist nicht nur eine Formel, sondern eine Definition.
09.01.2016, 13:52	compact_123	Auf diesen Beitrag antworten »
sollte natürlich so heißen wie du das geschrieben hast, hab dafür anstelle $\begin{eqnarray} x^{q} = x^{} \end{eqnarray}$ genommen. Kann ich mir diese Herleitung über die komplexen Zahlen erklären?* Dort ist es ja so, dass der Betrag bzw. die Norm wie folgt berechnet wird. $\begin{eqnarray} \| z \| = \sqrt{ z z^{} } \end{eqnarray}$ Das Ergebnis ist ein Skalar. Der Betrag eine Quaternions wird ja genauso berechnet. Das Produkt aus $\begin{eqnarray} qq^{-1} \end{eqnarray}$ ist ja 1, also ein Einheitsquaternion und zugleich die Transormationsmatrix, um den Vektor x in $\begin{eqnarray} x^{q} \end{eqnarray*}$ zu transformieren. Ist es dewegen leichter mit Quaternionen zu rechnen, weil die transformation mit einem Einheitsquaternion erfolgt? Hoffentlich habe ich meine Idee jetzt nicht zu kompliziert ausgedrückt Edit (mY+): Gleichlautender Betrag vom 11.1. / 12:00 h wurde entfernt.
11.01.2016, 18:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, mit der "komplexen Konjugation" hat das nicht viel zu tun. Die komplexe Konjugation $\begin{eqnarray} \overline .:\mathbb C\to\mathbb C, z\mapsto \overline z \end{eqnarray}$ ist wegen $\begin{eqnarray} i^2=-i^2=-1 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Automorphismus von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist ein Körper, also gilt auch $\begin{eqnarray} uv=vu \end{eqnarray}$ für alle komplexen Zahlen $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Daher ist die Konjugation $\begin{eqnarray} u^v=vuv^{-1}=u \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ trivial für alle $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Die komplexe Konjugation $\begin{eqnarray} \overline .:\mathbb C\to\mathbb C, z\mapsto \overline z \end{eqnarray}$ ist wegen $\begin{eqnarray} i^2=-i^2=-1 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Automorphismus von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . Die Algebra der Quaternionen $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ ist per Definition nicht kommutativ, $\begin{eqnarray} i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, kj=-i, ik=-j \end{eqnarray}$ . Deshalb ist die "Konjugation mit $\begin{eqnarray} q\in Q \end{eqnarray}$ " sehr viel interessanter. Dumm nur, dass der Begriff Konjugation auch für $\begin{eqnarray} \overline .:Q\to Q, x=x_0+x_1i+x_2j+x_3k\mapsto \overline x=x_0-x_1i-x_2j-x_3k \end{eqnarray}$ benutzt wird.
11.01.2016, 19:13	compact_123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erst mal für deine Antwort. Nur wie kann ich mir dann diese Formel zu den Quaternionen erklären? Ich habe schon zig Informationen dazu durchgelesen aber ich verstehe diese Formel einfach nicht . Schade dass dieser Vergleich zum komplexen nicht stimmt
12.01.2016, 12:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sage es noch einmal. $\begin{eqnarray} x^q=qxq^{-1} \end{eqnarray}$ ist eine Definition. Für jede Quaternion $\begin{eqnarray} q\ne 0 \end{eqnarray}$ liefert das eine Konjugationsabbildung $\begin{eqnarray} \kappa_q:Q\to Q,x\mapsto qxq^{-1} \end{eqnarray}$ . Das ist Standard; für jede multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ bekommt man so die inneren Automorphismen der Gruppe, und es ist $\begin{eqnarray} Inn(G)\le Aut(G) \end{eqnarray}$ eine Untergruppe der Automorphismengruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ .
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