Vom infinitesimalen Erzeuger zur Markovkette |
08.01.2016, 20:03 | Boipl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vom infinitesimalen Erzeuger zur Markovkette Die Aufgabe ist von einer Q-Matrix zu Übergangsmatrizen P(t) zu kommen. Die Summe der Zeilen in Q ist ja immer 0, die Diagonale immer kleiner 0. Aber wie konstruiere ich P(t)? Hat jemand einen Hinweis für mich, den ein durchschnittlich schlechter Stochastiker auch versteht? In einem Buch hab ich gesehen dass man da mit exponentiellen Verteilungen arbeiten muss, aber das hat mich nur noch mehr verwirrt. |
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08.01.2016, 20:19 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist , wobei da rechts die Matrixexponentialfunktion steht. Und das folgt aus dem für infinitesimal kleine gültigen , dabei ist die Einheitsmatrix. |
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09.01.2016, 12:59 | Boipl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Hinweis - ich glaub ich komm da jetzt schon eher weiter. Kennt jemand einen Befehl für R oder Wolframalpha wo ich die e^Qt checken kann? Habs mal bei wolframalpha mit matrixExp{{-3,1,1,1},{1,-3,1,1},{1,1,-3,1},{1,1,1,-3}}, aber das ist ein Blödsinn, genauso wie e^{{-3,1,1,1},{1,-3,1,1},{1,1,-3,1},{1,1,1,-3}} |
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09.01.2016, 13:14 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und was genau ist da Blödsinn? |
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10.01.2016, 11:49 | Boipl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nachdem ich mir das ganze Wochenende schon den Kopf zerbreche, werf ich mal ein konkretes Beispiel in den Raum: Eine Markovkette mit vier Zuständen hat den inf. Erzeuger Q={{-3, 1, 1, 1},{1, -3, 1, 1},{1, 1, -3, 1},{1, 1, 1, -3}}. Gesucht sind die Übergangsmatrizen P(t) und ihren Grenzwert für t->unendlich. Von der Markovkette (nennen wir sie D) kommt man auf die Übergangsmatrizen indem man die Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechnet, außerdem die inverse. p^t=D*E*D^-1 Also eigentlich sollte mir das halbwegs klar sein, wie ich von einer Markovkette dazu kam. Nur der Schritt von Q auf D ist mir noch nicht gelungen, trotz Hinweis. Hat vielleicht wer ein kleines Beispiel in der Schublade wie ich diesen Schritt richtig mache? Bei Wolframalpha bekomme ich mit matrixExp{{-3,1,1,1},{1,-3,1,1},{1,1,-3,1},{1,1,1,-3}} eine Lösung, "zu Fuß" komm ich dort nicht hin. |
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10.01.2016, 12:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Menge Halbwahrheiten, die du hier verbreitest, begleitet von einer chaotischen Symbolik (D ist bei dir sowohl die Markovkette als auch die Transformationsmatrix der Diagonalisierung ??? ). Wie oben schon erwähnt, ist , bleibt "nur" noch die Frage, wie man das im konkreten Fall berechnet. Diagonalisierung ist das richtige Stichwort: Existiert eine Diagonalmatrix und eine Transformationsmatrix mit , so gilt dann . Dabei ist wieder eine Diagonalmatrix, die auf der Diagonalen die Werte stehen hat, wobei die Eigenwerte von Q sind in der Reihenfolge, wie sie in auf der Diagonalen stehen. |
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10.01.2016, 13:01 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe keine Ahnung von Markovketten. Wenn ich die vorherigen Posts richtig verstehe, musst du berechnen. Dazu bestimmt man die Zerlegung . D ist eine Diagonalmatrix mit den EW von Q, S enthält die zugehörigen EV. Der erste Schritt ist also Bestimmung dieser EW und EV Dann ist Edit: Zu langsam. Und wech |
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10.01.2016, 13:08 | Boipl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, bei euch ist das irgendwie besser erklärt als in meinem sehr rudimentären Skriptum... ich werd gleich mal rechnen und euch meine Lösung voller Stolz präsentieren.... stay tuned.... |
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10.01.2016, 17:09 | Boipl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So, jetzt poste ich mal einen Lösungsvorschlag. Q= Eigenwerte: S = Transformationsmatrix Meiner Meinung nach schaut das gut aus bis daher, allerdings steht in der Angabe etwas von Übergangmatrizen, also Mehrzahl Mein Ansatz wäre jetzt Würdet ihr das auch so machen? |
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10.01.2016, 17:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sieht eine ganze Zeit gut aus ... und dann das:
Das ist offensichtlich Unfug - das ist ja nicht mal eine stochastische Matrix (Spaltensumme 1). EDIT: ist sicher auch falsch. |
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10.01.2016, 17:58 | Boipl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh, Hoppla, ich hab die Inverse falsch abgetippt... die müsste jetzt stimmen. Der Rest muss auch stimmen, ich find sonst keinen Fehler, ich glaube nur es ist die halbe Lösung. Irgendeine Zweite Matrix fehlt da noch, die addiert wird (zumindest bilde ich mir ein sowas in der Vorlesung aufgeschnappt zu haben) Die Spaltensummen ergeben bei meiner (Teil?-)Lösung genau 0. Das kann ja kein Zufall sein Q= Eigenwerte: S = Transformationsmatrix Meiner Meinung nach schaut das gut aus bis daher, allerdings steht in der Angabe etwas von Übergangmatrizen, also Mehrzahl Mein Ansatz wäre jetzt Würdet ihr das auch so machen? |
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10.01.2016, 18:29 | Boipl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, ich hab mir mal ähnliche Beispiele angesehen, die auf die t-stufige Übergangsmatrizen und den Grenzwert berechnen. Da wird gerechnet mit , wobei eben in D die Eigenwerte in der Diagonalen immer mit ^t gerechnet wird (oft wird auch statt t ein n verwendet, wir verwenden halt immer t). Die Frage ist, ob (und wenn ja: wie) ich die Methode auch bei meinem Beispiel (es ist ja Q gegeben, keine "normale" Übergangsmatrix (wo jede Zeilen- und Spaltensumme gleich eins ist) anwenden kann? |
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10.01.2016, 18:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es fehlt ein entscheidender Summand zu deinem Ergebnis: Eine Einheitsmatrix der Dimension 4, nur so wird das ganze überhaupt zu einer stochastischen Matrix (nichtnegative Einträge; Spaltensumme=1). Eigentlich kommt das automatisch raus, wenn du korrekt rechnest - ich weiß nicht, warum du die Einheitsmatrix als Summand (erneut) weglässt. EDIT: Ach je, nicht nur der Summand, auch das Gesamtvorzeichen vor der Matrix ist ja falsch. Hab ich mich verkuckt, damit gebe ich den Rettungsversuch auf. Rechne einfach konsequent aus, dann erübrigt sich weiteres Gewurstel. |
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10.01.2016, 19:10 | Boipl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, das mit dem Summanden verwirrt mich gerade. Ich hab in der Zwischenzeit mal die Rechnung durch wolframalpha gejagt: {{-1,-1,-1,1},{0,0,1,1},{0,1,0,1},{1,0,0,1}}*{{e^(4t),0,0,0},{0,e^(4t),0,0},{0,0,e^(4t),0},{0,0,0,0}}*(1/4*{{-1,-1,-1,3},{-1,-1,3,-1},{-1,3,-1,-1},{1,1,1,1}}) Da wird mein Ergebnis unterstützt, aber ich versteh das Argument, dass das keine stochastische Matrix sein kann. EDIT: Danke für die bisherige Hilfe! Ich hab bei dem Thema echt so meine Schwierigkeiten wie man sieht |
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10.01.2016, 19:11 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da steht nicht 0, sondern 1. Und natürlich überall , wo bei dir steht. |
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10.01.2016, 19:22 | Boipl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Korrektur, das mit dem 0er statt dem 1er war dumm. Und beim Minus war ich mir nicht sicher, aber ja eigentlich macht das mehr Sinn. Wenn ich das jetzt ausrechnen lasse, ergibt das aber noch immer keine stochastische Matrix. |
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10.01.2016, 19:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du nervst langsam mit deinen dauernden Schusslichkeitsfehlern: Richtig gerechnet ist es eine stochastische Matrix. |
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