Matrixproblem

09.01.2016, 22:22

5tausend

Matrixproblem

Meine Frage:
Hallo Zusammen Ich muss eine Aufgabe lösen mit der Matrix
1-lam a b
0 2-lam c
0 0 3-lam

mit lam1=1, lam2=2 und lam3=3;
Eigenwerte sind ja schon wie gesagt gefunden von mir worden.
Nur komme ich einfach nicht auf die Vektorräume drauf.
Wenn ich für lam1 einsetze bekomme ich eine null spalte, dann löse ich die dritte Zeile auf und erreiche damit:

0 a b
0 0 ac-b
0 0 0

dann ist das erste v1=(1,0,0) so wie ich es verstehe. Nur ich bin mir da nicht sicher.
mit lam2 erreiche ich folgendes (dritte Zeile habe ich eliminiert):
-1 a b
0 0 c
0 0 0
somit ist (ab hier komme ich für lam2 nicht weiter).
Für lam3:
-2 a b
0 -1 c
0 0 0
und ab hier sieht es genau so aus.
Könntet ihr mir das erklären oder vorrechnen aber nicht aus Fachchinesisch bitte, dass wäre sehr nett ich möchte das verstehen.

Meine Ideen:
Ich bin mit meinem Latain am Ende

10.01.2016, 08:55

Leopold

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Vorsicht! Es könnte $\begin{align*} c = 0 \end{align*}$ sein. Du darfst unterwegs also nicht ohne weiteres durch $\begin{align*} c \end{align*}$ dividieren. Für $\begin{align*} \lambda = 2 \end{align*}$ könnte man so rechnen:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} -1 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot x = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{pmatrix} -1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot x = 0 \end{align*}$

Aus der letzten Zeile ergibt sich $\begin{align*} x_3 = 0 \end{align*}$ . In der ersten Zeile kann man sich $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ beliebig $\begin{align*} \neq 0 \end{align*}$ vorgeben, etwa $\begin{align*} x_2 = 1 \end{align*}$ . Dann kann $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ berechnet werden.

Und bei $\begin{align*} \lambda = 3 \end{align*}$ sieht es so aus:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} -2 & a & b \\ 0 & -1 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x = 0 \end{align*}$

In der zweiten Zeile kann man sich $\begin{align*} x_3 \end{align*}$ vorgeben. Vorschlag: $\begin{align*} x_3 = 2 \end{align*}$ . Warum das einen kleinen Vorteil bringt, siehst du während der Rechnung. Du kannst es natürlich auch mit einem anderen $\begin{align*} x_3 \neq 0 \end{align*}$ probieren.

10.01.2016, 11:39

5tausend

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Frage 1.Wieso kann man auf einmal Zahlen beliebig wählen???
wieso für x1 = 1 oder x3 = 2;

Frage 2. Wären folgende Vektorräume dann richtig?
zu lam1: v1 = (1,0,0)
zu lam2: v2 = (1,1,0)
zu lam3: v3 = (2,2,2)

ist das richtig?

10.01.2016, 14:07

Leopold

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Du solltest dich genauer mit der Fachsprache beschäftigen. Ungenaue Fachsprache verrät oft ungenaues Denken oder gar Unverständnis. Du solltest also nicht "Vektorräume" sagen, wo es "Vektoren", oder hier: "Eigenvektoren" heißen müßte.

Zitat:

Original von 5tausend
Frage 1.Wieso kann man auf einmal Zahlen beliebig wählen???

Man sucht Vektoren $\begin{align*} x \neq 0 \end{align*}$ , die durch die Matrix $\begin{align*} A \end{align*}$ auf Vielfache ihrer selbst abgebildet werden:

$\begin{align*} Ax = \lambda x \ \ \text{mit} \ \ A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 2 & c \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{align*}$

Du hast die in Frage kommenden $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ bestimmt: $\begin{align*} \lambda = 1,2,3 \end{align*}$ .

Jetzt nehmen wir als Beispiel $\begin{align*} \lambda = 2 \end{align*}$ . Das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem, wie in meinem vorigen Beitrag umgeformt, ist:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} -1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot x = 0 \end{align*}$

Und das mußt du nun lösen, ganz wie du es in der Schule gelernt hast. Man kann das nun verschieden angehen. Man kann etwa alle Lösungen suchen. Diese bilden einen Unterraum des $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ , den Eigenraum zum Eigenwert $\begin{align*} \lambda = 2 \end{align*}$ . Oder man kann eine spezielle Lösung suchen, die diesen Unterraum erzeugt. Letztlich bleibt es sich gleich. Suchen wir also eine spezielle Lösung. Wenn man sich das Gleichungssystem mit Variablen zeilenweise aufschreibt, lautet es:

$\begin{align*} -x_1 + a x_2 = 0 \ \ \text{(erste Zeile)} \end{align*}$

$\begin{align*} x_3 = 0 \ \ \text{(dritte Zeile)} \end{align*}$

Die zweite Zeile habe ich gleich weggelassen. Als Nullzeile bringt sie keine zusätzliche Information, denn $\begin{align*} 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = 0 \end{align*}$ wird von allen Tripeln $\begin{align*} (x_1,x_2,x_3) \end{align*}$ erfüllt.

Offenbar liegt die dritte Koordinate fest. Das sagt gerade $\begin{align*} x_3 = 0 \end{align*}$ . Bleibt also noch die erste Zeile:

$\begin{align*} -x_1 + a x_2 = 0 \end{align*}$

Diese Gleichung sagt nun nicht, wie groß $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ sein müssen. Sie legt nur einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Unbekannten fest. Du kannst daher eine der beiden Variablen beliebig wählen. Es ist hier sinnvoll, $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ zu wählen. Theoretisch kann man sich auch $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ vorgeben. Beim Auflösen nach $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ muß man aber dann durch $\begin{align*} a \end{align*}$ dividieren, und das könnte $\begin{align*} 0 \end{align*}$ sein. Das würde auf eine Fallunterscheidung hinauslaufen. Um diese zu vermeiden, gibt man sich $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ vor und löst nach $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ auf. Als Vorgabe darf man jeden Wert $\begin{align*} \neq 0 \end{align*}$ nehmen (warum eigentlich $\begin{align*} \neq 0 \end{align*}$ ?). Nehmen wir $\begin{align*} x_2 = 1 \end{align*}$ , so lautet die Gleichung

$\begin{align*} -x_1 + a \cdot 1 = 0 \ \ \Rightarrow \ \ x_1 = a \end{align*}$

Damit ist

$\begin{align*} x = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

ein Eigenvektor. Der Eigenraum von $\begin{align*} \lambda = 2 \end{align*}$ ist daher

$\begin{align*} U_{\lambda = 2} = \left \langle \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right \rangle = \left\{ \left. \ \sigma \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 0 \ \end{pmatrix} \ \ \right| \ \ \sigma \in \mathbb{R} \ \right\} \end{align*}$

Und das beantwortet dann auch die Frage:

Zitat:

Original von 5tausend
Frage 2. Wären folgende Vektorräume dann richtig?

...

zu lam2: v2 = (1,1,0)

...

ist das richtig?

Dein $\begin{align*} v_2 \end{align*}$ ist somit falsch.

Würdest du statt $\begin{align*} x_2 = 1 \end{align*}$ eine andere Wahl treffen, bekämst du einen anderen Eigenvektor, aber denselben Eigenraum. Probiere es aus.

Wenn du nicht einen speziellen Eigenvektor suchst, sondern einen beliebigen, dann gib dir keine konkrete Zahl vor, sondern führe einen Parameter ein: $\begin{align*} x_2 = \sigma \end{align*}$ .

Jetzt denk noch einmal über alles nach und widme dich dann $\begin{align*} \lambda = 3 \end{align*}$ .

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