Basis

11.01.2016, 13:08

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

Basis

hallo,

ich habe die aufgabe bereits erfolgreich gelöst. mir geht es hier darum, ob ich es wirklich verstanden habe...
weil ich keine lust habe, alle sachen zu texen, werde ich nur formal ein paar buchstaben wählen.
ich sage jetzt einfach mal, was ich mir so gedacht habe.

aufgabe war es, von vier vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} e \\ f \\ g \\ h \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} i \\ j \\ k \\ l \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} m \\ n \\ o \\ p \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die basis des aufgespannten unterraums zu bestimmen. die vektoren sind aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

ich habe zuerst alle in eine matrix geschmissen $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & e & i & m \\ b & f & j & n \\ c & g & k & o \\ d & h & l & p \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und diese gegaußt. am ende erhalte ich eine nullzeile $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & e & i & m \\ b & f & j & n \\ c & g & k & o \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . der rang dieser matrix ist also $\begin{eqnarray*} rg(A)=3 \end{eqnarray*}$ .

jetzt weiß ich, dass mein unterraum die dimension 3 hat. für jeden vektor habe ich (als koordinatensystem vorgestellt) 3 richtungen, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray*}$ . wir haben aber vier vektoren, die ja als linearkombination eine richtung mehr als $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray*}$ aufspannen. intuitiv muss eine basis als matrix geschrieben immer quadratische sein. stimmt das?

ich kann nun sagen, dass eine $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 = <\begin{pmatrix} a & e & i \\ b & f & j \\ c & g & k \\ d & h & l \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ . das ist auch ein erzeugendensystem. man kann nun an den "köpfen" erkennen, welche vektoren man wählen muss, damit ich eine basis (also ein minimales erzeugendensystem) des R^3 bekomme.

vorher habe ich eine nullzeile erhalten. wenn ich nun $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ , also die inverse gegaußte Matrix nocheinmal gauße, dann erhalte ich wieder eine nullzeile. das muss sein, weil ich ja eine "richtung" zu viel habe. ich erhalte also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ e & f & g \\ i & j & k \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus kann ich jetzt die basis ablesen. weil ich wieder eine quadratische matrix habe: die ersten drei vektoren, ohne ihren letzten index.
darf ich das mit der inversen matrix rechnen, und warum? mir ist das anschaulich noch nciht klar, weil ich ja die werte der vektoren quasi neu zusammenstelle.

kann es sein, dass ich bei dem erzeugendensystem, wenn ich drei beliebige vektoren nehme, immer eine basis erhalten werde?

ich hoffe, ihr versteht mein gelaber hier... vielen dank!

11.01.2016, 13:21

tatmas

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Tipp:
Vier Vektoren genannt $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b& c& d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Weniger Schreibarbeit ist übersichtlicher sieht schöner aus.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & e & i & m \\ b & f & j & n \\ c & g & k & o \\ d & h & l & p \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und diese gegaußt. am ende erhalte ich eine nullzeile $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & e & i & m \\ b & f & j & n \\ c & g & k & o \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . der

Das Gauß-Verfahren verändert die Matrix. Die zwei Matrizen im Zitat sind i.A.nicht identisch.
Die rechte ist nicht =A.

Zitat:

ich kann nun sagen, dass eine $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 = <\begin{pmatrix} a & e & i \\ b & f & j \\ c & g & k \\ d & h & l \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ . da

Nein kannst du nicht. Die linke Seite enthält Vektoren mit 3 Einträgen.
Die rechte Seite ist hier undefiniert. Denn es ist das Erzeugnis einer Matrix und du hast nicht erwähnt in welchem Vektorraum dieses Erzeugnis betrachtet werden soll.
Solltest du das Erzeugnis der Spalten meinen ist auch das falsch, denn das wären dann alles Vektoren mit 4 Einträgen.
Diese beiden Vektorräume können nicht gleich sein.

Zitat:

wenn ich nun $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ , also die inverse gegaußte Matrix nocheinmal gauße,

Wegen ex falso quodlibet ist das alles richtig.
Denn das Inverse von A existiert nicht (bzw. falls es existiert ist deine Rangberechnung falsch).

12.01.2016, 17:46

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo tatmas, danke für deine antwort.

Zitat:

Tipp: Vier Vektoren genannt $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b& c& d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Weniger Schreibarbeit ist übersichtlicher sieht schöner aus.

wie ist diese schreibweise definiert? werden die vektoren zeilen oder spaltenweise in A eingetragen?
ich denke, dass du mein beispiel genommen hast, und dass dann a=(a, b, c, d) ist.

Zitat:

Das Gauß-Verfahren verändert die Matrix. Die zwei Matrizen im Zitat sind i.A.nicht identisch. Die rechte ist nicht =A.

danke für den hinweis! nenne wir sie A' Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Nein kannst du nicht. Die linke Seite enthält Vektoren mit 3 Einträgen. Die rechte Seite ist hier undefiniert. Denn es ist das Erzeugnis einer Matrix und du hast nicht erwähnt in welchem Vektorraum dieses Erzeugnis betrachtet werden soll. Solltest du das Erzeugnis der Spalten meinen ist auch das falsch, denn das wären dann alles Vektoren mit 4 Einträgen. Diese beiden Vektorräume können nicht gleich sein.

ja, das kommt vom texen. sry.. ich meinte $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 = <\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} e \\ f \\ g \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} i \\ j \\ k \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} m \\ n \\ o \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

Zitat:

Denn das Inverse von A existiert nicht (bzw. falls es existiert ist deine Rangberechnung falsch).

was ist dann das, was ich da stehen habe:

Zitat:

ich erhalte also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ e & f & g \\ i & j & k \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

.

zum erzeugendensystem. wie hatten in der vorlesung, wie es scheint einen satz, dass ich aus einem erzeugendensystem beliebige Vektoren herausnehmen kann, bis ein minimales erzeugendensystem entsteht, was ja eine basis ist. das heißt ja umgekehrt, dass ich mir - entsprechend der dimensions n - n viele beliebige vektoren auswählen kann.?

nochmal vielen dank!

12.01.2016, 20:13

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

noch ne präzision oder weiterführung meiner frage...

ich habe die matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & e & i & m \\ b & f & j & n \\ c & g & k & o \\ d & h & l & p \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (sry, immer noch die umständliche ausführung, ich bin mir sonst nicht sicher, wie ich die einzelnen werte darstellen soll)

wenn ich diese matrix einml gauße, erhalte ich $\begin{eqnarray*} A' = \begin{pmatrix} a & e & i & m \\ 0 & f & j & n \\ 0 & 0 & k & o \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . damit ist der rang eben 3. und der damit aufgespannte unterraum hat die dim 3.

die basis dieses unterraum erhalte ich doch dann schon direkt, indem ich $\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} a & e & i \\ 0 & f & j \\ 0 & 0 & k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wähle. stimmt das?

ich habe nämlich zum einen die köpfe gewählt und dann $\begin{eqnarray*} B' = \begin{pmatrix} a & e & i \\ b & f & j \\ c & g & k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als basis gewählt. diese ist aber linear abhängig zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , daher dachte ich das...

13.01.2016, 08:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld
die basis dieses unterraum erhalte ich doch dann schon direkt, indem ich $\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} a & e & i \\ 0 & f & j \\ 0 & 0 & k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wähle. stimmt das?

Ähh?

verwirrt

Ich habe jetzt nicht den ganzen Thread gelesen, aber ich verstehe nicht so recht, von was B, das ja eine Matrix ist, eine Basis sein soll.

13.01.2016, 11:23

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ich verstehe nicht so recht, von was B, das ja eine Matrix ist, eine Basis sein soll.

stimmt...
ich meine, dass man aus dieser matrix die basis $\begin{eqnarray*} B = \left\{ \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} e \\ f \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} i \\ j \\ k \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ basteln kann.

Anzeige

13.01.2016, 11:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal können Vektoren aus dem R^3 keine Basis eines Unterraums des R^4 sein.

Generell - wenn ich mir den Thread so ansehe - habe ich ein prinzipielles Problem mit deinem Vorgehen. Wenn ich das richtig sehe, trägst du die Vektoren als Spalten in eine Matrix ein und wendest dann das Gaußverfahren an. Das ist ganz ungünstig und kann auch zu falschen Ergebnissen führen.

Besser ist, du trägst die Vektoren als Zeilen in die Matrix ein. Mit dem Gauß-Verfahren bekommst du dann automatisch eine Basis heraus.

18.01.2016, 22:50

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

tschuldige für die späte antwort. unter "meine beiträge" wurden keine ungelesenen beiträge in dem thread angezeigt...

wie du richtig erkannt hast, ist es mir nicht ganz klar, wie man vektoren wann und warum in eine matrix zum gaußen einträgt...
wenn ich die vektoren als zeilen eintrage, dann werde ich am ende - lineare abhängigkeit vorausgesetzt - mind eine nullzeile erhalten. also habe ich einen vektor elimieniert.

ist das korrekt?

19.01.2016, 08:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Nach der Durchführung des Gauß-Verfahrens bilden die Vektoren, die den Nicht-Nullzeilen entsprechen, eine Basis. smile

smile

19.01.2016, 11:42

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. das verstehe ich. ist einleuchtend. mich verwirrt aber folgendes. ich werde es an einem beispiel (hat sich gerade so ergeben Big Laugh

Big Laugh

) versuchen klar zu machen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sei meine matrix, die ich gaußen möchte, wobei die vektoren als zeilen eingetragen sind. die vektoren sollten am ende eine basis des R^3 bilden. dann müsste $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das ergebnis sein.

die matrix hat also noch drei zeilen, also habe ich drei vektoren, die zueinander linear unabhängig sind. diese drei vektoren habe aber die form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ , obwohl sie, als 3 vektoren einen raum R^3 aufspannen sollten. kannst du verstehen, was ich meine? was werfe ich da jetzt raus?

EDIT:
ich gehe mal davon aus, dass ich entweder a, b, c oder d rauswerfen kann. wenn ich mir das als vektoren in einem koordinatensystem vorstelle ist es ja eine art körper, aufgespannt durch drei vektoren. ich kann diesen "körper" gerade an eine beliebige position im R^4 klatschen, wobei der Körper an sich der selbe bleibt, denn er kann ja nur durch drei vektoren bestimmt sein. der vierte vektor gibt an, wohin ich diesen "körper" im vierdimensionalen raum verschiebe....
wenn ich aber d einfach weglasse, dann ist mein zweiter vektor (0, 0, 0).. auch nicht sinnvoll, oder?

19.01.2016, 11:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sei meine matrix, die ich gaußen möchte, wobei die vektoren als zeilen eingetragen sind. die vektoren sollten am ende eine basis des R^3 bilden. dann müsste $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das ergebnis sein.

Wo ist denn die Zeile (0, 1, 0, 0) geblieben? Im übrigen können die Vektoren keine Basis des R³ bilden, da sie aus 4 Komponenten bestehen und mithin keine Elemente des R³ sind. smile

smile

Zitat:

Original von Frageheld
diese drei vektoren habe aber die form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ , obwohl sie, als 3 vektoren einen raum R^3 aufspannen sollten. kannst du verstehen, was ich meine? was werfe ich da jetzt raus?

Auch hier mixt du wieder (warum auch immer) den R^4 mit R³. unglücklich

unglücklich

19.01.2016, 12:01

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wo ist denn die Zeile (0, 1, 0, 0) geblieben?

hat sich bei mir gekürzt, wenn ich mich nicht verrechnet habe geschockt

geschockt

Zitat:

Im übrigen können die Vektoren keine Basis des R³ bilden, da sie aus 4 Komponenten bestehen und mithin keine Elemente des R³ sind.

genau das meine ich ja mit

Zitat:

diese drei vektoren habe aber die form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ , obwohl sie, als 3 vektoren einen raum R^3 aufspannen sollten.

ich denke wohl, dass ich da noch eine komponente rauswerfen muss. ich weiß nur nicht welche, oder ob es einen unterschied macht..

19.01.2016, 12:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld

Zitat:

Wo ist denn die Zeile (0, 1, 0, 0) geblieben?

hat sich bei mir gekürzt, wenn ich mich nicht verrechnet habe geschockt

geschockt

Bei der Ausgangsmatrix stehen in den Zeilen 2 - 5 die Vektoren der Standardbasis. Folglich kannst du mit denen bei Anwendung des Gauß-Verfahrens den ersten Vektor rausfwerfen und es bleiben die Vektoren der Standardbasis (mithin also 4 Vektoren) übrig.

Zitat:

Original von Frageheld

Zitat:

diese drei vektoren habe aber die form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ , obwohl sie, als 3 vektoren einen raum R^3 aufspannen sollten.

ich denke wohl, dass ich da noch eine komponente rauswerfen muss. ich weiß nur nicht welche, oder ob es einen unterschied macht..

Nochmal: du kannst nicht einfach Vektoren des R^4 mit Vektoren des R³ vermengen. Das geht auch nicht nach dem Motto "was nicht paßt, wird passend gemacht" und einfach mal Komponenten weglassen. Vielleicht kannst du mal generell darlegen, welchen Überlegungen du da nachgehst.

23.01.2016, 13:39

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. vergesst alles, was ich vorher geschrieben habe. Big Laugh

Big Laugh

ich denke, mein problem lässt sich recht einfach fassen, wenn wir ein konkretes beispiel nehmen.

ich habe einen unterraum des R^4 gegeben mit $\begin{eqnarray*} U = \{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \in R^4 | 2a+b-2c=4d \} \end{eqnarray*}$ . davon möchte ich eine basis erstellen.

weil ich eine gleichung als einschränkung habe, hat mein unterraum die dimension 3. ich muss also eine komponente streichen, wie du sagst.

meine idee: ich habe zahlen gewählt, die die gleichung erfüllen, wie etwa 2*1+2-2*0=4*1, also a=1, b=2, c=0, d=1. dann habe ich aber erst einen von 3 vektoren für eine basis des R^3, zudem eben zu viele komponenten.

daher wollte ich die einheitsvektoren des R^3 mit meinem neuen vektor zusammennehmen. wenn ich dann eine komponente rauswerfe (wie auch immer ich das machen kann), dann müsste ich als ergebnis ein erzeugendensystem von von einem r^3 haben, der die gleichung erfüllt. ist verständlich was ich sage?

dann muss ich erstens wissen, wie ich eine komponente entferne (ich glaube, das ist das problem) und zum anderen muss ich dann aus einem erzeugendensystem eine basis basteln (das müsste mit gauß gehen, wenn man die vektoren als zeilen einträgt).

um eben eine komponente zu entfernen wollte ich diese einheitsvektoren und meinen neuen vektor in eine matrix schreiben, mit den vektoren als spalten.

23.01.2016, 19:18

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, andere idee.

ich könnte auch einfach 3 linear unabhängige vektoren basteln, die die gleichung erfüllen. also zum beispiel so, dass ich am ende die vektoren (1, 2, 0, -4), (2, 2, 1, -4) und (2, 6, 1, -8) habe. wenn ich diese in eine matrix einsetze (vektoren als spalten), dann müsste ich die überschüssige komponente rauswerfen können.

ich glaube, dass das eine bessere idee ist, als mit den einheitsvektoren aufzufüllen. stimmt das auch?

24.01.2016, 21:41

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld
ok. vergesst alles, was ich vorher geschrieben habe. Big Laugh

Big Laugh

ich denke, mein problem lässt sich recht einfach fassen, wenn wir ein konkretes beispiel nehmen.

ich habe einen unterraum des R^4 gegeben mit $\begin{eqnarray*} U = \{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \in R^4 | 2a+b-2c=4d \} \end{eqnarray*}$ . davon möchte ich eine basis erstellen.

Das ist eine Hyperebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ der Dimension 3 mit dem Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2\\1\\-2\\-4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Frageheld
weil ich eine gleichung als einschränkung habe, hat mein unterraum die dimension 3. ich muss also eine komponente streichen, wie du sagst.

meine idee: ich habe zahlen gewählt, die die gleichung erfüllen, wie etwa 2*1+2-2*0=4*1, also a=1, b=2, c=0, d=1. dann habe ich aber erst einen von 3 vektoren für eine basis des R^3, zudem eben zu viele komponenten.

Wieso denn zu viele Komponenten? Du hast einen Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , da haben die Vektoren nun mal 4 Einträge, die Anzahl der Einträge hat doch erst mal nichts mit der Dimension des Unterraums zu tun. die Dimension ist ja gerade definiert als die Anzahl der Basisvektorne und nicht als die Anzahl der Einträge in den Basisvektoren.

Zitat:

Original von Frageheld
daher wollte ich die einheitsvektoren des R^3 mit meinem neuen vektor zusammennehmen. wenn ich dann eine komponente rauswerfe (wie auch immer ich das machen kann), dann müsste ich als ergebnis ein erzeugendensystem von von einem r^3 haben, der die gleichung erfüllt. ist verständlich was ich sage?

Im Zusammenhang mit der Aufgabe ist diese "Operation" nicht zulässig. Einfach eine Komponente streichen, damit die Anzahl der Einträge in den einzelnen Vektoren gleich der Dimension ist ist eine unzulässige Herangehensweise, warum nicht mit dem zufrieden geben was man hat, einen dreidimensionalen Unterraum eines vierdimensionalen Raumes.

Zitat:

Original von Frageheld
dann muss ich erstens wissen, wie ich eine komponente entferne (ich glaube, das ist das problem) und zum anderen muss ich dann aus einem erzeugendensystem eine basis basteln (das müsste mit gauß gehen, wenn man die vektoren als zeilen einträgt).

um eben eine komponente zu entfernen wollte ich diese einheitsvektoren und meinen neuen vektor in eine matrix schreiben, mit den vektoren als spalten.

Siehe oben, es ist alles gesagt.

Zitat:

Original von Frageheld
ok, andere idee.

ich könnte auch einfach 3 linear unabhängige vektoren basteln, die die gleichung erfüllen. also zum beispiel so, dass ich am ende die vektoren (1, 2, 0, -4), (2, 2, 1, -4) und (2, 6, 1, -8) habe. wenn ich diese in eine matrix einsetze (vektoren als spalten), dann müsste ich die überschüssige komponente rauswerfen können.

ich glaube, dass das eine bessere idee ist, als mit den einheitsvektoren aufzufüllen. stimmt das auch?

Nein, man kann hier nicht einfach eine Komponente herauswerfen. Wenn du drei linear unabhängige Vektoren hast dann bilden diese deine Basis deines immerhin nur dreidimensionalen Raumes, wie bereits gesagt, es ist ziemlich unerheblich, wie viele Einträge die Vektoren haben.

25.01.2016, 07:20

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht noch als Anmerkung:

Eine Parameterform der Hyperebene bekommst du, indem du drei Koeffizienten parametrisiers, dann hast du auch drei Basisvektoren, man muss also nicht herumprobieren.....

25.01.2016, 08:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld
weil ich eine gleichung als einschränkung habe, hat mein unterraum die dimension 3. ich muss also eine komponente streichen, wie du sagst.

Wo sollte ich das mit dem "Komponenten streichen" gesagt haben? Ich kann mich nicht erinnern. verwirrt

verwirrt

Alles andere siehe Igrizu.

26.01.2016, 13:09

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke für eure antoworten.

ich fasse mal zusammen, was ich so verstanden habe...

ich habe einen unterraum des R^4, der hat dann dimension 3, also drei vektoren in der basis. diese vektoren haben aber 4 komponenten, weil es sich eben um einen unterraum des R^4 handelt.

ich kann eine basis aufstellen, indem ich mir aus der gleichung 3 linear unabhängige vektoren heraussuche, wie oben gesagt (1, 2, 0, -4), (2, 2, 1, -4) und (2, 6, 1, -8). diese haben 4 einträge und sind somit meine basis.

stimmt das so? wenn ja, dann ergibt sich daraus eine andere frage, aber ich will erst wissen, ob ich das hier verstanden habe.. Big Laugh

Big Laugh

26.01.2016, 13:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld
ich habe einen unterraum des R^4, der hat dann dimension 3, also drei vektoren in der basis. diese vektoren haben aber 4 komponenten, weil es sich eben um einen unterraum des R^4 handelt.

Korrekt.

Zitat:

Original von Frageheld
ich kann eine basis aufstellen, indem ich mir aus der gleichung 3 linear unabhängige vektoren heraussuche, wie oben gesagt (1, 2, 0, -4), (2, 2, 1, -4) und (2, 6, 1, -8). diese haben 4 einträge und sind somit meine basis.

Im Prinzip ja, nur leider ist keiner der genannten Vektoren ein Element von U. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Einfache Methode, um richtige Lösungen zu finden, die dann automatisch auch noch linear unabhängig sind:
Setze von den Variablen b, c und d jeweils eine gleich 1 und die anderen gleich Null. Bestimme dann a. Du erhältst 3 Vektoren, die dann auch eine Basis bilden.

26.01.2016, 13:56

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

@Frageheld:

wie du an eine mögliche Basis kommst habe ich bereits hier geschrieben, klarsoweits Ansatz ist im Prinzip das gleiche:

Zitat:

Original von lgrizu
Vielleicht noch als Anmerkung:

Eine Parameterform der Hyperebene bekommst du, indem du drei Koeffizienten parametrisiers, dann hast du auch drei Basisvektoren, man muss also nicht herumprobieren.....

Ansonsten überlasse ich klarsoweit wieder das Feld.

26.01.2016, 14:00

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Im Prinzip ja, nur leider ist keiner der genannten Vektoren ein Element von U.

...
ich habe mich mit d vertan, meinte (1, 2, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (2, 6, 1, 2) naja.. deine lösung ist um einiges eleganter zugegeben. dann käme $\begin{eqnarray*} B_U = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus. korrekt? Big Laugh

Big Laugh

@lgrizu

Zitat:

wie du an eine mögliche Basis kommst habe ich bereits hier geschrieben, klarsoweits Ansatz ist im Prinzip das gleiche:

ok.. war noch nicht soweit, dass verstanden zu haben... Big Laugh

Big Laugh

danke aber für deine erklärung einer basis, der dimension und den komponenten Big Laugh

Big Laugh

hat geholfen Freude

Freude

26.01.2016, 14:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld
dann käme $\begin{eqnarray*} B_U = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus. korrekt? Big Laugh

Big Laugh

Ja.

Freude

26.01.2016, 16:03

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

juhu!

Tanzen

dann will ich mal meine andere sache bringen.

die aufgabe habe ich im netz gefunden, ist so ähnlich, nur eine andere darstellung. ich habe die vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die einen unterraum des R^4 aufspannen. ich soll davon eine basis aufstellen.

mein vorgehen: ich werfe die vektoren in eine matrix (die vektoren als zeilen) und wende gauß darauf an. dann sollte eine beliebige anzahl an 0-zeieln herauskommen. die vektoren, die nicht zu einer nullzeile geworden sind, bilden dann meine basis (die vektoren behalten 4 komponenten, nur die anzahl der nicht null zeilen definiert meine dimension). soweit richtig?

wenn ich diese basis dann zu einer des R^4 ergänzen sollte, dann muss ich "nur" weitere vektoren ergänzen, so dass ich am ende 4 zusammen habe, die linear unabhängig sind (auch hier nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

: ich brauche an den komponenten nichts zu ändern)

kommt das hin?

27.01.2016, 11:02

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die aufgabe jetzt einmal gerechnet.

ich erstelle eben eine matrix A, die die vektoren als zeilen enthält und gauße sie. es ergibt sich eine nullzeilen in der matrix A'. dann nehme ich die zeilen, die nicht nullzeilen in A' sind aus A heraus. damit erhalte ich die basis $\begin{eqnarray*} B = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ .

wenn ich diese basis zu einer des R^4 ergänzen muss, muss ich einen linear unabhängigen vektor finden. ich wähle
$\begin{eqnarray*} B' = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \} \end{eqnarray*}$ als basis.

korrekt? falls ja, wie kann ich beim ergänzen zum r^4 schnell einen linear unabhängigen vektor finden? gibts da auch nen schönen trick? Big Laugh

Big Laugh

27.01.2016, 11:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld
damit erhalte ich die basis $\begin{eqnarray*} B = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ .

Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet und hoffe mal, daß es stimmt. smile

smile

Zitat:

Original von Frageheld
korrekt? falls ja, wie kann ich beim ergänzen zum r^4 schnell einen linear unabhängigen vektor finden? gibts da auch nen schönen trick? Big Laugh

Big Laugh

Auch hier habe ich nicht nachgerechnet. Einen "Trick" gibt es, wenn du die Matrix A', die sich ja nach Anwendung des Gaußverfahrens in Zeilenstufenform befindet, genauer betrachtest. Dort kannst du leicht sehen, welche Zeilen du ergänzen mußt, um auf 4 Nicht-Null-Zeilen zu kommen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »