Stetigkeit von Funktionen

12.01.2016, 10:51

mariusmi

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Stetigkeit von Funktionen

Sei f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion mit den Eigenschaften:

f(x) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 für alle x und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) = \lim_{x \to -\infty } f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: f besitzt ein Maximum.

Idee:
Da an beiden "Rändern" ( $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ ) der Grenzwert 0 ist und für alle x gilt, dass f(x) größer/gleich 0 ist, ist intuitiv klar, dass es ein Maximum geben muss.
Meine Idee wäre das über den Zwischenwertsatz zu zeigen. Man könnte sich Intervalle überlegen, auf die man den ZWS anwendet. Mir fällt es nur schwer nun formal den Anfang zu finden.

Danke für eure Tipps smile

smile

12.01.2016, 10:57

tatmas

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Betrachte eine geeignete kompakte Teilmenge der reellen Zahlen.
Der ZWS bringt hier gar nichts.

12.01.2016, 10:58

klarsoweit

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RE: Stetigkeit von Funktionen
Ein denkbarer Anfang:

Wenn f(x) = 0 ist für alle x, dann ist die Aussage trivialerweise erfüllt. Sei nun x_0 eine Stelle mit f(x_0) > 0. Was kann man nun aufgrund der Stetigkeit folgern?

EDIT: etwas spät. traurig

traurig

Aber ich mußte auch mehr tippen. Big Laugh

Big Laugh

12.01.2016, 11:53

PracX

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Hallo ihr drei,

ich sitze grade an der selben Aufgabe. Ich habe auch erst über den ZWS nachgedacht, aber vernünftig zu begründen war die Aufgabe damit nicht. Nun versuche ich mich mal an eure Tipps zu heften Augenzwinkern

Augenzwinkern

Stetigkeit definiert sich ja bekanntlich wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun ein beliebiges x_0 aus den reellen Zahlen wählen, dessen Funktionswert $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0 ist, bedeutet das doch nun aufgrund der Stetigkeit (= des Nicht-Vorhandenseins einer Definitionslücke), dass wir für jedes dieser x_0 ein Funktionswert von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ bekommen und somit ein Grenzwert an der Stelle x_0 existiert, richtig?

Nun betrachten wir uns ein abgeschlossenes Intervall $\begin{eqnarray*} \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ und wählen aus diesem Intervall ein x und ein y, mit x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ y.
Mein Ansatz wäre nun zu argumentieren, dass wir weder eine konstante Folge betrachten, noch eine Definitionslücke haben. Mein Gedanke ist, dass wir somit ja zwangsläufig fallende und/oder steigende Funktionswerte haben müssen und z.B. bei einer monoton fallenden Funktion das Maximum ja immernoch an Stelle a läge. Ist das der richtige Weg und wenn ja, wie könnte man das formal aufhübschen? verwirrt

verwirrt

12.01.2016, 12:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von PracX
Wenn wir nun ein beliebiges x_0 aus den reellen Zahlen wählen, dessen Funktionswert $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0 ist, bedeutet das doch nun aufgrund der Stetigkeit (= des Nicht-Vorhandenseins einer Definitionslücke), dass wir für jedes dieser x_0 ein Funktionswert von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ bekommen und somit ein Grenzwert an der Stelle x_0 existiert, richtig?

Und was soll das jetzt bringen? verwirrt

verwirrt

Ohnehin ist ja die Funktion überall nicht-negativ. Somit ist an einer Stelle x_0 mit Funktionswert $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ offensichtlich f(x_0) = 0. smile

smile

Insgesamt kann ich nicht erkennen, was du mit deiner Argumentation bezwecken willst.

12.01.2016, 12:16

HAL 9000

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Da geht's mir ähnlich, und bei

Zitat:

Original von PracX
Mein Ansatz wäre nun zu argumentieren, dass wir weder eine konstante Folge betrachten, noch eine Definitionslücke haben. Mein Gedanke ist, dass wir somit ja zwangsläufig fallende und/oder steigende Funktionswerte haben müssen und z.B. bei einer monoton fallenden Funktion das Maximum ja immernoch an Stelle a läge.

bin ich komplett ausgestiegen: Welche "Folge" ? Wo ist hier was "zwangsläufig" ? Es wäre untertrieben zu sagen, dass hier ein wenig Logik fehlt - sie fehlt nahezu komplett.

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12.01.2016, 12:53

PracX

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Zitat:

Original von HAL 9000Es wäre untertrieben zu sagen, dass hier ein wenig Logik fehlt - sie fehlt nahezu komplett.

- Im Endeffekt.

Ich versuche es mal anders unglücklich

unglücklich

Also. Wir haben nachwievor das abgeschlossene Intervall [a,b], in dem ein Teil unserer Funktion f liegt.
Wie diese Funktion aussieht ist ja nebensächlich, daher vergesst mal mein x < y Zeug und so.
Nun gilt zu zeigen, dass irgendwo in [a,b] ein Maximum liegt, welches dann ein Grenzwertz von f im Intervall wäre, oder ist das auch falsch gedacht? Wie würde man dann am besten ansetzen, um zu zeigen, dass die Teilfunktion konvergiert und um dann zu folgern, dass das Maximum existiert?

Entschuldigt bitte meine unklare Ausdrucksweise. Die Analysis ist definitiv nicht mehr Stärke verwirrt

verwirrt

12.01.2016, 13:05

tatmas

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Ich schrieb nicht umsonst kompakt und nicht abgeschlossen.
Es gibt einen wichtigen Satz über stetige Funktionen und Kompakta.
Den gilt es hier anzuwenden.

12.01.2016, 13:11

PracX

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Zitat:

Original von tatmas
Ich schrieb nicht umsonst kompakt und nicht abgeschlossen.
Es gibt einen wichtigen Satz über stetige Funktionen und Kompakta.
Den gilt es hier anzuwenden.

Es muss auch ohne den "Satz über Kompakta" gehen irgendwie. In der Vorlesung wurden bisher keine kompakten Funktionen thematisiert.

12.01.2016, 13:14

tatmas

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Ich sprach auch nirgendwo von kompakten Funktionen.

12.01.2016, 14:05

PracX

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Auch wieder wahr, aber auch kompakte Teilmengen von Zahlenbereichen sind für uns hier Neuland grade. Tut mir Leid, dass ich deinem Anspruch an Neulinge hier nicht gerecht werden kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.01.2016, 14:20

HAL 9000

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Ich nenne jetzt einfach mal den heißen Brei, um den hier im Thread bisher so sorgsam herumgetappt wurde, obwohl ihn einige (tatmas, klarsoweit) sicher im Sinn hatten:

Satz vom Minimum und Maximum (Extremsatz)

(in dieser einfach formulierten Form ohne topologische Kenntnisse wie Kompaktheit verständlich). Ist der bekannt, d.h., darf er verwendet werden? Diese Frage geht natürlich in erster Linie an den Threadersteller, und es würde die Dinge erheblich vereinfachen.

12.01.2016, 14:40

mariusmi

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Der Satz kam in genau der einfachen Form in der Vorlesung dran und darf somit auch verwendet werden.

12.01.2016, 14:49

HAL 9000

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Na ist doch prima. Dann ziehe ich mich zurück und überlasse den ursprünglichen Akteuren das Feld. Wink

Wink

13.01.2016, 00:07

mariusmi

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Können wir uns, da f stetig ist, beliebige abgeschlossene Intervalle [a,b] bilden und darauf dann den Extremwertsatz anwenden? Demnach hat jedes dieser Intervalle ein Maximum und somit f?

13.01.2016, 08:38

klarsoweit

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Besser wäre es, ein einziges abgeschlossenes Intervall zu haben. Das läßt sich auch relativ leicht konstruieren. Wenn f nicht die Null-Funktion ist, dann gibt es ein x_0 mit f(x_0) > 0. Da f an den Rändern gegen Null konvergiert, gibt es ein b>0, so daß $\begin{eqnarray*} f(x) \leq \frac 1 2 f(x_0) \end{eqnarray*}$ ist für alle x > b . Analog gibt es ein a<0, so daß $\begin{eqnarray*} f(x) \leq \frac 1 2 f(x_0) \end{eqnarray*}$ ist für alle x < a . Der Rest sollte dann klar sein. smile

smile

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