Gruppen und Restklassen

12.01.2016, 13:59	mudmath	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen und Restklassen Ich verstehe mal wieder nur chinesisch bei dieser Aufgabe (hach ja, Lineare Algebra, mein Lieblingsfach ) Ich würde mich freuen wenn mir jemand dabei behilflich sein könnte, wie ich hier die Gruppenaxiome beweise. Ich würde mich auch über leicht verständliche Literaturvorschläge für Beginner freuen. Ich fühle mich in dem Fach mittlerweile so, als müsste ich eine Sprache fließend sprechen können und kann aber nur ein paar Vokabeln. es geht um folgende Aufgabe: Für $\begin{eqnarray} m\in \mathbb N \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \mathbb Z _{m}<br /> \end{eqnarray}$ wie in der Vorlesung definiert ( $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{m}:=\left\{ [x]_{m}:x\in \mathbb Z\right\} =\left\{ [0]_{m},[1]_{m},...[m-1]_{m}\right\} \end{eqnarray}$ ) und $\begin{eqnarray} \oplus:\mathbb Z _{m}x\mathbb Z _{m}-->\mathbb Z _{m}, \mathbb [w] _{m} \mathbb\oplus [z] _{m}:= \mathbb [w+z] _{m} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} w,z\in Z \end{eqnarray}$ und + die gewöhnliche Addition von ganzen Zahlen bezeichnet. Beweisen Sie: $\begin{eqnarray} (\mathbb Z _{m},\oplus,[0]_{m}) \end{eqnarray}$ ist eine abelsche Gruppe der Ordnung m. Hinweis: Ein wichtiger Schritt ist die Wohldefiniertheit von $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ . Dies bedeutet, dass $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ unabhängig vom Repräsentanten der Restklasse ist. Zeigen Sie dafür: Wenn für w,w',z,z' $\begin{eqnarray} \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} [w]_{m}=[w']_{m} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [z]_{m}=[z']_{m} \end{eqnarray}$ so folgt: $\begin{eqnarray} [w+z]_{m}=[w'+z']_{m} \end{eqnarray}$ Gruß
12.01.2016, 14:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So geht das jedem im 1. Semester, und im 2. Semester wundert man sich, warum einem diese einfachsten aller möglichen Definitionen so schwierig erschienen sind. Restklassen hat Carl Friedrich Gauß erfunden, sie gehören zu den wichtigsten Gruppen, Ringen und Körpern. Das muss man aus der Vorlesung und den einfachen Rechenregeln mit ganzen Zahlen verstehen. Es wird in jedem Algebra-Buch erklärt (z.B. Siegfried Bosch, Algebra. (2001) z.B. Helmut Hasse, Vorlesungen über Zahlentheorie (1950))
12.01.2016, 14:37	mudmath	Auf diesen Beitrag antworten »
Werde mir die Bücher mal anscheuen. Aus der Vorlesung heraus verstehe ich überhaupt nichts. Wir schreiben 6 große Tafeln in 1 1/2 Stunden ab voll mit Definitionen, Beweisen, Sätzen und Lemmatas, die sich wiederum auf Lemmatas vorheriger Vorlesungen beziehen etc. Viel Raum zum verstehen bleibt da nicht. Das ist, wie wenn ich als Beginner anhand von Wikipediaartikeln das Fach lernen soll. Meiner Meinung nach unmöglich für die meisten Studenten. Deswegen brauche ich halt etwas, wo man leicht und didaktisch gut erklärt in das Fach eingeführt wird, auch anhand von Beispielen etc. Aber danke für die Tipps
12.01.2016, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Vorlesungen gibt es große Übungen im Hörsaal und kleine Übungen in Gruppen und Übungsaufgaben für zuhause und Vorlesungsskripte und Lehrbücher. Nur Geduld, Fleiß und Arbeit kann auf Dauer zum Erfolg führen. "Gut Ding will Weile haben." Schule war sicher leichter als Studium, nur so kann das Studium zu mehr und tieferem Wissen verhelfen. Natürlich muss man mindestens den Inhalt der Vorlesung zuhause noch einmal lesen, darüber nachdenken und auswendig lernen. Deine Definition für $\begin{eqnarray} \mathbb Z_m \end{eqnarray}$ ist übrigens sehr unvollständig, auf dieser Grundlage lässt sich gar nichts beweisen. $\begin{eqnarray} \mathbb Z_m=\mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray}$ muss in geeigneter Weise als Faktormenge $\begin{eqnarray} \mathbb Z/\equiv \end{eqnarray}$ der Menge der ganzen rationalen Zahlen nach einer geeigneten Äquivalenzrelation definiert werden. Es ist z.B. $\begin{eqnarray} a\equiv b\; (mod \; m) \Leftrightarrow m\|(a-b)\Leftrightarrow \exists c\in\mathbb Z : mc=a-b\Leftrightarrow \exists r\in \mathbb Z,0\le r< m : a=q_am+r,b=q_bm+r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [a]_m:=\{b\in \mathbb Z : a\equiv b \; (mod \; m)\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Z_m := \{[a]_m:a\in\mathbb Z\} \end{eqnarray}$ .
14.01.2016, 01:11	mudmath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz, was die Restklasse Null ([0]) iin der Gruppendefinition zu bedeuten hat. Ich hab mich jetzt nochmal etwas reingelesen. könnte man den Beweis nicht so führen: $\begin{eqnarray} (Ab)[a]_{m}\oplus [b]_{m}=[a+b]_{m} <br /> (As)[a]_{m}\oplus (b+c)]_{m}=[a+(b+c)]_{m} =[(a+b)+c)]_{m}=[a+b]_{m}\oplus[c]_{m}=[a+b]_{m}\oplus [c]_{m}<br /> (Neu)[a]_{m}\oplus [0]_{m}=[a+0]_{m}=[a]_{m}=[0+a]_{m}=[0]_{m}\oplus [a]_{m}<br /> (In)Zu [a]_{m} ist [y-a]_{m} invers. [a]_{m}\oplus [y-a]_{m}=[a+(y-a)]_{m}=[y]_{m}=[0]_{m}=[(y-a)+a]_{m}=[y-a]_{m}\oplus [a]_{m}<br /> (Ko)[a]_{m}\oplus [b]_{m}=[a+b]_{m}=[b+a]_{m}=[b]_{m}+[a]_{m} \end{eqnarray}$ Was die angeblich nicht vollständige Definition von Z_m angeht, so liegen mir keine weiteren Informationen vor. Im Skript steht da nichts mehr zu.
14.01.2016, 12:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kann gar nicht sein, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z_m \end{eqnarray}$ nicht definiert wird und dann etwas darüber bewiesen werden soll. Nimm meine Definition (d.h. eine meiner Definitionen), dann kannst Du alles beweisen. Zum Beispiel siehst Du (wenn du dir die Mühe machst, hinzusehen) $\begin{eqnarray} [0]_m=\{b\in \mathbb Z:0\equiv b (mod \; m)\}=\{b\in \mathbb Z:m\|b\}=m\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Du musst nur noch die Wohldefiniertheit der Addition beweisen, dann funktioniert fast alles, was Du gemacht hast. Für das inverse Element zu $\begin{eqnarray} [a]_m \end{eqnarray}$ hast Du $\begin{eqnarray} [y-a]_m \end{eqnarray}$ angesetzt, das ist Unfug, denn $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist nicht definiert. Richtig ist $\begin{eqnarray} [0-a]_m=[-a]_m \end{eqnarray}$ .
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