Zeigen, dass 3 Vektoren Dreieck bilden

12.01.2016, 23:48

loco94

Zeigen, dass 3 Vektoren Dreieck bilden

Meine Frage:
Hi. Wie würde ich folgende Aufgabe lösen:

Gegeben sind die Vektoren:
a = (1, -2, 4), b = (-1, 3, 2), c = (-2, 5, -2)

Man soll zeigen, dass a, b und c ein Dreieck bilden.

Meine Ideen:
Das einzige was mir auffällt ist, dass v = (0, 0, 0) rauskommen würde, wenn man a + (-b) + c rechnen würde (-b ist halt der inverse Vektor zu b).

13.01.2016, 00:22

moody_ds

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Kannst du vielleicht den genauen Wortlaut der Aufgabe widergeben? 3 Punkte können immer ein Dreieck bilden Augenzwinkern

Ich nehme mal an, du meinst dass die Vektoren ein Kräftedreieck bilden. Ich weiß jetzt natürlich nicht wie genau die Aufgabe lautet, aber soweit wäre ich mit deiner Erkenntnis zufrieden.

13.01.2016, 00:36

loco94

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Die Aufgabe heißt: Zeigen Sie: die Vektoren a, b, c bilden ein Dreieck.

Ich nehme an, es ist implizit von nem Kräftedreieck die Rede wenns um Vektoren geht, die ein Dreieck bilden sollen.

13.01.2016, 00:37

riwe

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das sind keine Punkte sondern 3D-Vektoren, also zeige, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b} \end{eqnarray*}$

mit " irgendwie +- 1" Augenzwinkern

edit: oder ordentlich

$\begin{eqnarray*} \vec{b}=\vec{a}+\vec{c} \end{eqnarray*}$

13.01.2016, 00:43

moody_ds

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Er hat zwar Vektoren geschrieben, aber in der Notation könnten es nach meinem Verständnis genau so gut Punkte sein.
Weiterhin hat er ja im Ergebnis gezeigt dass deine Aussage gilt, deswegen war ich erst einmal zufrieden Wink

13.01.2016, 00:53

loco94

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Also a, b und c haben in der Aufgabe auch einen Pfeil über dem Buchstaben, den ich hier (aus Faulheit) weggelassen hab. Ist das eindeutiger? Weil ich dachte Vektor ist selbsterklärend. verwirrt

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a} ,\vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray*}$ ein Dreieck bilden.

13.01.2016, 00:57

moody_ds

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Dass es sich Vektoren handelt und was die Aufgabe ist haben wir ja bereits geklärt Wink

Hast du riwes Ansatz verfolgt? Damit lässt sich die Geschichte schön zeigen Augenzwinkern

13.01.2016, 01:22

Loco94

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Hab seinen Ansatz versucht, also ein Lambda und Müh zu finden für das die Gleichung gilt, indem ich das Gleichungssystem gelöst habe. Für Lambda kam 1 raus, für Müh kam 3 raus. Geht aber leider nur für die 3 Komponente auf.

Kann mir aber vorstellen dass ich was falsch gerechnet hab. Big Laugh

13.01.2016, 01:25

Loco94

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Edit: meinte es geht nur für die x Komponente auf.

13.01.2016, 01:48

moody_ds

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Zeile folgt

$\begin{eqnarray*} -2 = \lambda - \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 + \mu = \lambda \end{eqnarray*}$

einsetzen in die zweite Zeile liefert

$\begin{eqnarray*} 5 = -2(-2 + \mu) + 3 \mu \end{eqnarray*}$

Das kannst du nach $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auflösen und wieder in die erste Zeile einsetzen für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Am Ende machst du die Probe.

Versuch's nochmal smile

13.01.2016, 08:44

loco94

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Ok, hab's nochmal nachgerechnet, jetzt passt's. Freude

Man kann also sagen, 3 Vektoren bilden immer ein Dreieck, wenn sie linear abhängig sind, bzw. Wenn sich der dritte Vektor als Linearkombination der zwei anderen Vektoren darstellen lässt?

13.01.2016, 09:12

loco94

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Wobei, wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, sind sie ja parallel. Und ein Dreieck hat ja nicht zwei parallele Seiten..

13.01.2016, 10:13

moody_ds

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https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit

Guck dir direkt den ersten Absatz an, da ist ein Beispiel was das vielleicht aufklärt für dich. Ansonsten frag nochmal nach Wink

Zitat:

Original von loco94
Wenn sich der dritte Vektor als Linearkombination der zwei anderen Vektoren darstellen lässt?

Genau. Überleg dir, dass ein Kräftedreieck quasi 2 Kräfte und die Resultierende daraus angibt. Dann muss sich die Resultierende ja aus den beiden Kräften darstellen lassen.

13.01.2016, 10:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von loco94
Man kann also sagen, 3 Vektoren bilden immer ein Dreieck, wenn sie linear abhängig sind

Woher dieses "also" stammt, ist wohl dein Geheimnis. unglücklich

Die lineare Abhängigkeit der drei Vektoren sagt nur, dass die drei in einer Ebene liegen, und das ist notwendig, damit überhaupt was in Richtung Dreieck geht, d.h., dass das von riwe genannte System $\begin{eqnarray*} \vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b} \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Lösung $\begin{align*} (\lambda,\mu) \end{align*}$ hat.

Hinreichend ist es nicht: Tatsächlich bewirkt die lineare Abhängigkeit von bereits zwei der drei Vektoren, dass das Dreieck in irgendeiner Weise entartet (Flächeninhalt 0) ist, ein solches entartetes Dreieck bezeichnet man aber im Sinne der klassischen Geomtrie nicht mehr als Dreieck an sich.

Gehen wir also davon aus, dass die drei linear abhängig sind, dass aber beliebige zwei der drei linear unabhängig sind. Dann hat $\begin{eqnarray*} \vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b} \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung, und dann und nur dann, wenn für diese Lösung $\begin{align*} \lambda,\mu\in\{1,-1\} \end{align*}$ gilt, kann die Ausgangsfrage bejaht werden. Man muss übrigens dieses System nicht in klassischer Weise lösen: Da nur die vier Kombinationen $\begin{align*} (\lambda,\mu) \in \{ (-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1) \} \end{align*}$ in Frage kommen, kann man das meist auch schnell durchprobieren, im vorliegenden Fall hat man dann mit $\begin{align*} (\lambda,\mu) = (-1,1) \end{align*}$ Erfolg.

13.01.2016, 14:30

loco94

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Ok, danke. Merke, dass ich noch an meinen Grundkenntnissen feilen muss. Habe mir heute die Lösung besorgt von der Aufgabe (von der ich annehme dass sie die Musterlösung ist) und dort wird die Aufgabe folgendermaßen gelöst: Es ist ein Dreieck wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{c} = \vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{b} - \vec{c} \end{eqnarray*}$

Das heißt mein Ansatz ging schon in die richtige Richtung.

Gibt es einen Unterschied zwischen dieser Methode und der von riwe? Also dass man je nach Aufgabenstellung die eine Methode der anderen vorzieht.

13.01.2016, 14:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von loco94
Es ist ein Dreieck wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{c} = \vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{b} - \vec{c} \end{eqnarray*}$

[...]

Gibt es einen Unterschied zwischen dieser Methode und der von riwe?

Der Unterschied ist, dass du hinsichtlich $\begin{eqnarray*} \vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b} \end{eqnarray*}$ nur eine der vier möglichen Vorzeichenkombinationen für $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu \end{eqnarray*}$ ausprobierst, nämlich $\begin{eqnarray*} \lambda=-1,\mu=1 \end{eqnarray*}$ . Was ist, wenn die scheitert? Wenn es eine der anderen drei Kombinationen ist, kann man ja aus den Vektoren dennoch ein Dreieck basteln. Augenzwinkern

Genau das wollte ich ja auch mit

Zitat:

Original von HAL 9000
Man muss übrigens dieses System nicht in klassischer Weise lösen: Da nur die vier Kombinationen $\begin{align*} (\lambda,\mu) \in \{ (-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1) \} \end{align*}$ in Frage kommen, kann man das meist auch schnell durchprobieren

ausdrücken.

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