Matrix bestimmen

13.01.2016, 12:46

Natürlichezahl55

Matrix bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Sei $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & i & 1 \\ 1 & -i & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f : \mathbb C^3 \Rightarrow \mathbb C^2 ,<br /> v \Rightarrow Av \end{eqnarray*}$ die durch Multiplikation mit A definierte lineare Abbildung. Bestimmen Sie für die Basen
$\begin{eqnarray*} B = {v_1 =(1,i,0), v_2=(0,i,0), v_3=(0,0,1)} des \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} B'= { (w_1 =(1,1), w_2=(1,i))} des \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ die Matrix.

Meine Ideen:
Also ich hab zuerst versucht das Bild (f) zu bestimmen um dann die linearkombination der Bilder bezüglich der Basis des Bildraums aufzustellen um so die gesuchte Matrix zu erhalten. Aber ich komme mit der Abbildung nucht klar d.h ich bekomme das Bild nicht.

13.01.2016, 12:58

Elvis

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$\begin{eqnarray*} Av_1=\begin{pmatrix} 1 & i & 1 \\ 1 & -i & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot 1+ i\cdot i +1*0 \\ 1\cdot 1- i\cdot i +1*0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.01.2016, 13:27

Natürlichezahl55

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Muss ich das mi allen Vektoren v machen?
Wenn ja weiss ich nicht was ich damit anfangen soll.
Ich benötige doch eine Gleichung um das Bild auszurechnen.

13.01.2016, 14:10

Natürlichezahl55

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Damit ich Bild (f) zu bekommen muss ich doch die Basis B' in die Gleichung der Abbildung einsetzen.

Aber ich weiß nicht wie ich bei der gegebenen Abbildungen dies machen kann da ich ja keine gleichung gegeben habe.

13.01.2016, 14:45

Natürlichezahl55

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Kommt für die Bilder

(2,2i,2), (2,-2i,3), (1+i,2i,1+i) und (1+i,-2i,1+i) raus.

Bin mir nicht sicher ob das stimmt glaube sogar es ist falsch aber besser als nichts unglücklich

13.01.2016, 15:10

klarsoweit

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Wenn ich mir deine letzten 3 Beiträge ansehe, dann wird offenbar, daß es an einigen Grundlagen fehlt.

Erst mal mußt du von den 3 Basisvektoren der Basis B die Bilder bestimmen. Elvis hat es ja schon für den ersten Vektor vorgemacht.

Diese Bilder $\begin{eqnarray*} y_i := A \cdot v_i \end{eqnarray*}$ mußt du dann als Linearkombination in der Basis B' darstellen.

13.01.2016, 15:17

Natürlichezahl55

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Also wären die Bilder (0,2), (-1,1) und (1,1)

13.01.2016, 15:24

klarsoweit

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OK. Jetzt brauchst du davon die Linearkombinationen bezüglich der Basisvektoren der Basis B'.

Die jeweiligen Koordinatenvektoren trägst du dann als Spalten in eine Matrix ein.

13.01.2016, 15:29

Natürlichezahl55

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Ich komm mit deb komplexenzahlen nucht so klar.
Wie lös ich diese gleichung

bi -2 = b

13.01.2016, 15:34

Natürlichezahl55

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Kommt für 0 = a + b
2 = a + bi

a = -2 , b = 2 raus?

13.01.2016, 15:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Natürlichezahl55
Wie lös ich diese gleichung

bi -2 = b

Wie in der Mittelstufe. Schiebe alles mit b auf die linke Seite und alles andere auf die rechte Seite.

Zitat:

Original von Natürlichezahl55
Kommt für 0 = a + b
2 = a + bi

a = -2 , b = 2 raus?

Nein, wie man durch Einsetzen leicht feststellen kann. Augenzwinkern

13.01.2016, 16:18

Natürlichezahl55

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Ich komm mit dem i kicht weiter unglücklich

Also ich hab dann :

bi-b = 2

13.01.2016, 17:40

Natürlichezahl55

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Ich müsste ja dan das i los werden

bi-b = 2 I :i

bi-b/i = 2

Weiter komm ich leider nicht.

14.01.2016, 09:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Natürlichezahl55
Ich müsste ja dan das i los werden

bi-b = 2 I :i

bi-b/i = 2

Weiter komm ich leider nicht.

Mal abgesehen davon, daß die Umformung falsch ist, weil links Klammern fehlen und rechts nicht durch i dividiert wird, kann das doch nicht so schwer sein. Zu meiner Zeit hat man solche Gleichungen in der Mittelstufe gelöst. Nun denn: klammere das b aus und dividiere dann durch (i-1). Im weiteren Nachgang kannst du dann den entstehenden komplexen Nenner auf der rechten Seite durch Erweiterung des Bruchs mit dem konjugiert Komplexen des Nenners rational machen. smile

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