Lineare Algebra Gleichungssysteme

13.01.2016, 16:09	Marcotubo	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra Gleichungssysteme Meine Frage: Hallo liebe MB Nutzer. Ich versuche gerade folgendes zu zeigen: Seien $\begin{eqnarray} A\in Mat _{m\times n}\left(\mathbb R \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b}\in \mathbb R ^{m} \end{eqnarray}$ so, dass das lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray} A\vec{x} = \vec{b} \end{eqnarray}$ keine Lösung hat. Zeigen Sie, dass dann ein Vektor $\begin{eqnarray} \vec{y}\in \mathbb R ^{m}/{\vec{{0}}} \end{eqnarray}$ existiert, für den $\begin{eqnarray} A^{T}\vec{y}= \vec{0} \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Das LGS ist nicht lösbar falls rang(A)<m ist, wobei m die Anzahl der Zeilen der Matrix ist. Weiterhin ist bekannt, dass rang(A)=n-dimN(A), wobei n die Anzahl der Spalten ist und N(A) der Nullraum (Kern) von A ist. Der Rang der Transponierte Matrix $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ ist derselbe wie der der Matrix A und hier gilt die Relation rang( $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ )=m-dimN( $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ )und demzufolge dimN( $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ )=m-rang( $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ ). Es muss, wegen der Ungleichung (rang(A)<m), dimN( $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ )>1 sein. Da $\begin{eqnarray} A^{T}\vec{y}= \vec{0} \end{eqnarray}$ , ist der Vektor y ein Element aus den Kern von $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ , da dimN( $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ )>1 ist, gibt es ein solchen Vektor und damit ist was zu zeigen war gezeigt..hoffentlich.. Vielleicht kann mir jemand sagen ob di e Idee richtig ist oder ob die Aufgabe auf was anderes hinaus will. Ich bedanke mich schon mal ganz herzlich an denjenigen der sich die Zeit nimmt!
14.01.2016, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt alles plausibel, nur die erste Aussage musst Du umdrehen. "rang(A)<m , dann LGS nicht lösbar" ist falsch, z.B. für A=0,b=0. Du brauchst für deine weiteren Schritte die Aussage "LGS nicht lösbar, dann rang(A)<m" , und die bekommst Du als Folgerung aus "LGS lösbar genau dann wenn rang(A)=rang(A\|b)" , d.h. "LGS lösbar genau dann wenn der Rang der Matrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix" .
15.01.2016, 19:08	Marcotubo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, danke für die Antwort! Stimmt, den ersten Satz habe ich unglücklich formuliert, oder besser gesagt falsch.. Danke für den Hinweis!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »