Frage zum Induktionsbeweis

17.01.2016, 18:43

DerPinguinagent

Frage zum Induktionsbeweis

Meine Frage:
Ich möchte per Induktion zeigen, dass $\begin{eqnarray*} det(A_{n})=2*det(A_{n-1})-det(A_{n-1}) \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt. Könnt Ihr mir die Aufgabe korrigieren und ggf. die richtige Induktion aufschreiben?

LG DerPinguinagent

PS: Ich muss die Aufgabe morgen abgeben und brauche dringend eure Hilfe!

Meine Ideen:
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} det(A_{n+1})=2* det(A_{n})-det(A_{n-1}) \end{eqnarray*}$

I.B.:

$\begin{eqnarray*} det(A_{3})=2*det(A_{2})-det(A_{1})=2*3-2=6-2=4 \end{eqnarray*}$ => Stimmt

I.A.:

Es gelte für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \det(A_{n})= 2\det(A_{n-1})-\det(A_{n-2}) \end{eqnarray*}$

I.S.:

$\begin{eqnarray*} det(A_{n+1})=det(A_{n})_{n+1} = 2*det(A_{n-1})-det(A_{n-2})_{n+1} (I.A. Einsetzen) = 2*det(A_{n-1+n+1})-det(A_{n-2+n+1}) = 2* det(A_{n})-det(A_{n-1}) \end{eqnarray*}$

Q.E.D.

17.01.2016, 18:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von DerPinguinagent
Könnt Ihr mir die Aufgabe korrigieren und ggf. die richtige Induktion aufschreiben?

Können wir nicht, da es hier allem Anschein nach um eine Matrix $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ spezieller Struktur geht, und du diese Matrix $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ NICHT genannt hast. Finger1

17.01.2016, 18:50

DerPinguinagent

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hier steht die Matrix: http://www.onlinemathe.de/forum/Determin...rix-bestimmen-2

würde mich dennoch über eine Antwort freuen!

LG DerPinguinagent

17.01.2016, 19:27

HAL 9000

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Steht eigentlich alles im verlinkten Thread des anderen Forums:

Der Laplacesche Entwicklungssatz angewandt auf die erste Zeile (oder alternativ erste Spalte) der Matrix $\begin{align*} A_n \end{align*}$ liefert direkt den ersten Summanden in

$\begin{align*} \det(A_n) = 2\det(A_{n-1}) - \det(A_{n-2})\qquad (*) \end{align*}$ ,

während der zweite Summand $\begin{align*} -\det(A_{n-2}) \end{align*}$ aus einem weiteren Entwicklungsschritt der entsprechenden Teilmatrix resultiert.

Und es ist nicht diese Aussage (*), die eines Induktionsbeweises bedarf, sondern wohl eher so, dass man mit dieser Aussage (*) dann die explizite Formel $\begin{align*} \det(A_n) = n+1 \end{align*}$ per vollständiger Induktion nachweisen kann - da hast du wohl was in den falschen Hals gekriegt.

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