Vektorräume

18.01.2016, 12:09

Nukie2009

Vektorräume

Halle liebes Matheforum,
ich habe Probleme bei einer Aufgabe unglücklich

.

Seien K ein Körper, V ein endlichdimensionaler Vektorraum über K und f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} End_{k} \end{eqnarray*}$ (V).

a) Zeige, dass dimKer(f) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1/2 dim V falls f^2 = 0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} End_{k} \end{eqnarray*}$ (V).

b) Gilt auch die Umkehrung von (a)?

Ich habe einfach null Plan was ich machen muss, bitte helft mir :/!

18.01.2016, 12:22

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht z.B. über einen Widerspruchsbeweis:

Angenommen, es wäre $\begin{eqnarray*} \dim \operatorname{Kern} (f)<\frac{1}{2}\dim(V) \end{eqnarray*}$ . Was weißt du dann über $\begin{eqnarray*} \dim \operatorname{Bild} (f) \end{eqnarray*}$ ? (Dimensionssatz)
Außerdem soll ja gelten $\begin{eqnarray*} f^2=0 \end{eqnarray*}$ , d.h für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(f(v))=0 \end{eqnarray*}$ . Daraus erhältst du auch eine Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \operatorname{Bild}(f) \end{eqnarray*}$ .
Zusammen ergibt das einen Widerspruch.

18.01.2016, 12:38

Nukie2009

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja dann müsste nach dem Dimensionssatz dimIm(f) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1/2 sein.
Nachdem dann f^2=0 ist würde das bedeuten, dass das Bild also die Dimension des Bildes = 0 ist und somit einen Wiederspruch darstellt, da es größergleich 1/2 dim V sein müsste?

Oder wie genau kann ich mir das vorstellen :$.

Danke für die schnelle Antwort! smile

18.01.2016, 23:05

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nukie2009
Naja dann müsste nach dem Dimensionssatz dimIm(f) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1/2 sein.

So stimmt das nicht. Es sollte wohl lauten: $\begin{eqnarray*} \dim\operatorname{Im}(f)\textcolor{red}{>} \frac{1}{2}\textcolor{red}{\dim V} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Nukie2009
Nachdem dann f^2=0 ist würde das bedeuten, dass das Bild also die Dimension des Bildes = 0

Welches Bild meinst du jetzt?
Das Bild von $\begin{eqnarray*} f^2 \end{eqnarray*}$ besteht nur aus dem Nullvektor, und hat deswegen Dimension $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ; richtig.
Es ist aber nicht (zwangsläufig) $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ , deswegen kann die Dimension des Bildes von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch größer als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Du kannst aber trotzdem etwas über die Dimension des Bildes von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sagen: Für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(f(v))=0 \end{eqnarray*}$ . Nun liegt $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ im Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ; außerdem wird $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ von der Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf den Nullvektor abgebildet. D.h. $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ liegt im ...

Und jetzt machst du weiter. smile

20.01.2016, 19:27

SinusBanana

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würds einfach direkt machen: Da f^2=0 ist das Bild von f Teilmenge des Kerns von f und somit gilt dim Bild (f) kleiner gleich dim Kern (f). Mittels Dimensionsformel folt dann 2dim Kern(f) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ dim Bild(f)+ dim Kern (f) = dim V und somit dim Kern (f) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1/2dim V

LG

Neue Frage »

Antworten »

Vektorräume

Verwandte Themen