Approximiere unabhängige, identisch B1,1/6 verteilte Zufallsvariablen

18.01.2016, 19:32

IWillTry

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Approximiere unabhängige, identisch B1,1/6 verteilte Zufallsvariablen

Meine Frage:
Wir haben mit $\begin{eqnarray*} X_{1},...,X_{6} \end{eqnarray*}$ sechs unabhängige, identisch B_{1, \frac{1}{6}}-verteilte Zufallsvariablen.
Aufgabe: bestimme (approximativ) ein minimales $\begin{eqnarray*} c\in \mathbb{N}_{0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(\sum_{i=1}^6 X_{i}\geq c)\leq \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

a) "exakt" über die Binomialverteilung
b) über die Approximation mittels Poisson-Verteilung
c) über die Normalapproximation ohne Stetigkeitskorrektur
d) über die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur

Kann mir hier jemand einen Ansatz zur Lösung geben?
Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Tut mir Leid, aber ich stehe im Moment etwas auf dem Schlauch...
Für die a) muss ich doch einfach die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung in die Summe einsetzen und mit n=1 und p=1/6 berechnen und dann das c finden, richtig?

18.01.2016, 20:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von IWillTry
Für die a) muss ich doch einfach die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung in die Summe einsetzen und mit n=1 und p=1/6 berechnen und dann das c finden, richtig?

Binomialverteilung ja, p=1/6 ja, aber n=1 nein: Die Summe $\begin{align*} X=\sum_{i=1}^6 X_i \end{align*}$ ist binomialverteilt $\begin{align*} B\left(6,\frac{1}{6}\right) \end{align*}$ .

Und notier dir auch gleich den Erwartungswert- und Varianzparameter dieser Summenzufallsgröße :

Denn für die entsprechenden Parameter der approximierenden Normalverteilung in c),d) nimmst du genau diese Werte. Und der Erwartungswertparameter ist für b) wichtig.

Damit hast du alle nötigen Parameterwerte auch für die Berechnungen b)-d).

19.01.2016, 10:10

IWillTry

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Sorry, irgendwie hat das Latex scheinbar nicht richtig funktioniert.. da sollte stehen.. "unabhängige, identisch $\begin{eqnarray*} B_{1,\frac{1}{6}} \end{eqnarray*}$ -verteilte Zufallsvariablen" und ist die Schreibweise nicht $\begin{eqnarray*} B_{n,p} \end{eqnarray*}$ und damit n=1? Oder = 6, weil es halt 6 Zufallsvariablen sind?

19.01.2016, 10:26

HAL 9000

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Es ist letztlich wurst, ob die Schreibweise für die Binomialverteilung nun $\begin{align*} B(n,p) \end{align*}$ oder $\begin{align*} B_{n,p} \end{align*}$ ist - Hauptsache, man weiß was damit gemeint ist. Aber bleiben wir bei deiner letzteren Schreibweise, wenn dich das sonst aus dem Tritt bringt... smile

smile

Nochmal: $\begin{align*} X_i \sim B_{1,\frac{1}{6}} \end{align*}$ ist richtig, aber für die Summe (!) $\begin{align*} X=\sum_{i=1}^6 X_i \end{align*}$ folgt daraus $\begin{align*} X\sim B_{6,\frac{1}{6}} \end{align*}$ .

Das ist eine grundlegende Eigenschaft der Binomialverteilung:

Sind $\begin{align*} U\sim B_{k,p} \end{align*}$ und $\begin{align*} V\sim B_{m,p} \end{align*}$ und beide unabhängig, so gilt $\begin{align*} U+V\sim B_{k+m,p} \end{align*}$ .

19.01.2016, 11:19

IWillTry

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Genau das wollte ich wissen, danke smile

smile

Dann setze ich mich gleich mal dran und versuche mir aus den Ansätzen was zu basteln, danke

19.01.2016, 13:25

IWillTry

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$\begin{eqnarray*} E(X)=1\ und\ Var(X)=\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ , ist das schon richtig? Ich hatte irgendwie erwartet, dass da etwas besonderes berücksichtigt werden muss...

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19.01.2016, 13:32

HAL 9000

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Ja, genau diese Parameter brauchst du auch bei c),d), und was $\begin{align*} E(X)=1 \end{align*}$ betrifft auch bei b).

Schon Fortschritte bei a) ? Du kannst dich "von oben" herantasten, oder aber gemäß $\begin{align*} P(X\geq c) = 1-P(X<c) \end{align*}$ auch versuchen, das kleinste $\begin{align*} c \end{align*}$ mit $\begin{align*} P(X<c) \geq \frac{9}{10} \end{align*}$ zu finden. Dieser Alternativweg ist auf jeden Fall bei b) zu verwenden, weil du dort "von oben" nicht kommen kannst: Da wären unendlich viele Werte aufzusummieren...

19.01.2016, 15:22

IWillTry

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Sorry, dass es immer was dauert, kann das nur in ein paar kleinen Pausen machen..
a)
$\begin{eqnarray*} <br /> P(X\geq c)=1-P(X<c)\\<br /> 1-P(X<c)\geq \frac{9}{10}\\<br /> \Leftrightarrow 1-[\sum_{k=0}^{c} (\binom {6}{k})(\frac{1}{6})^k (1-\frac{1}{6}^{6-k}]\geq \frac{9}{10}<br /> \end{eqnarray*}$

Gehe ich das so richtig an?

19.01.2016, 15:30

HAL 9000

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Jetzt hast du in der zweiten und dritten Zeile was kräftig verpeilt. Ich wiederhole nochmal, was ich im letzten Beitrag geschrieben hatte:

$\begin{align*} P(X\geq c)\leq \frac{1}{10} \end{align*}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{align*} P(X<c)\geq \frac{9}{10} \end{align*}$ .

Und es gilt $\begin{align*} P(X<c) = \sum_{k=0}^{c-1} P(X=k) \end{align*}$ , ich wiederhole: Die Summe geht nur bis $\begin{align*} c-1 \end{align*}$ statt bis $\begin{align*} c \end{align*}$ . Es ist eben ein Unterschied, ob man bei diskreten Zufallsgrößen $\begin{align*} <c \end{align*}$ oder $\begin{align*} \leq c \end{align*}$ schreibt!

19.01.2016, 15:47

IWillTry

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Whoops, sorry da hab ich mich wohl etwas vertan Big Laugh

Big Laugh

Kann mich wegen der Arbeit nicht ganz auf die Aufgabe konzentrieren, da bin ich etwas verpeilt >.<
-------------------------------------------
Zur a)
$\begin{eqnarray*} <br /> P(X\geq c)\leq \frac{1}{10} \\ \Leftrightarrow P(X<c)\geq \frac{9}{10} \\ \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{c-1}P(X=k)\geq \frac{9}{10} \\ \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{c-1} \binom{6}{k} (\frac{1}{6})^{k} (1-\frac{1}{6})^{6-k} \geq \frac{9}{10}<br /> \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------
mein Ansatz zur
b) $\begin{eqnarray*} B_{6,\frac{1}{6}}(\{c\})\rightarrow \frac{\lambda^{c}}{k!}e^{-\lambda}\ mit\ \lambda = E(X) \end{eqnarray*}$

19.01.2016, 15:54

HAL 9000

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Ja genau.

Und auch bei b) würdest du so von vorn beginnend aufsummieren $\begin{align*} \sum_{k=0}^{c-1} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \end{align*}$ , bis der Wert $\begin{align*} \frac{9}{10} \end{align*}$ überschritten wird. Und wie bei a) ist nicht der letztlich erreichte Summenwert, sondern das zugehörige $\begin{align*} c \end{align*}$ gefragt.

19.01.2016, 16:25

IWillTry

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Somit komme ich bei beiden auf das Ergebnis, das $\begin{eqnarray*} c\geq 3 \end{eqnarray*}$ sein muss, damit der gesamte Ausdruck $\begin{eqnarray*} \geq \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$ wird.

19.01.2016, 16:31

HAL 9000

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Ja, hab ich auch so. Bleiben noch c) und d):

Dort kannst du natürlich, weil es sich in der Approximation um eine stetige Zufallsgröße handelt, zunächst ein "krummes" (d.h. nichtganzzahliges) $\begin{align*} c \end{align*}$ bestimmen, für das exakt $\begin{align*} P(X<c)=0.9 \end{align*}$ gilt. Für die Beantwortung der Aufgabe ist das dann aber natürlich auf die nächstgrößere ganze Zahl aufzurunden.

19.01.2016, 16:52

IWillTry

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Für c)
$\begin{eqnarray*} P(X<c)\approx \Phi(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}) \end{eqnarray*}$
Bzw. hier dann halt wieder die die Summe davon bilden bis c-1 und schauen für welches c es größer als 9/10 wird?
Nur wo benötige ich hier die Varianz?

19.01.2016, 17:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von IWillTry
Für c)
$\begin{eqnarray*} P(X<c)\approx \Phi(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}) \end{eqnarray*}$

Na rechts sollte auch c statt k stehen.

Zitat:

Original von IWillTry
Nur wo benötige ich hier die Varianz?

Nun, du hast gleich alles in eine Formel gepackt. Ich hatte an die "allgemeine" Normalverteilungsformel

$\begin{eqnarray*} P(X<c)\approx \Phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

gedacht, was speziell für die Binomialverteilungsapproximation mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu=np \end{eqnarray*}$ sowie Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2=np(1-p) \end{eqnarray*}$ aus a) funktioniert. smile

smile

Zitat:

Original von IWillTry
Bzw. hier dann halt wieder die die Summe davon bilden bis c-1 und schauen für welches c es größer als 9/10 wird?

Nein, keine Summe: Hier bei stetigen Zufallsgrößen nimmt man das Integral über die Dichte, aber das beinhaltet $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ schon - also direkt Formel (*) ist anzuwenden, ohne zusätzliche Summation oder Integration. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2016, 17:31

IWillTry

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Ja klar, das c hab ich vergessen zu übertragen, das ist immer so unübersichtlich in Latex Big Laugh

Big Laugh

Gut, wenn ich wieder zuhause bin, dann rechne ich das mal aus.

Was ist denn bei der d) mit der Stetigkeitskorrektur gemeint?
Das ist doch nicht das gleiche wie die Ganzzahligkeitskorrektur oder?

19.01.2016, 17:34

IWillTry

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Das $\begin{eqnarray*} \Phi (x) \end{eqnarray*}$ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, stimmts?
Und der Ausdruck in der Klammer wird dann dort als Obergrenze eingesetzt?

20.01.2016, 10:07

IWillTry

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Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} P(X<c)\approx \Phi (\frac{c-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}) = \Phi (\frac{c-1}{\sqrt{\frac{5}{6}}}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{c-1}{\sqrt{\frac{5}{6}}}} e^{\frac{-(\frac{c-1}{\sqrt{\frac{5}{6}}})^2}{2}} \end{eqnarray*}$

richtig?

20.01.2016, 11:28

IWillTry

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Ergebnis für c und d: c muss >= 2 sein

Vielen Dank für deine Hilfe! smile

smile

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