Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals ober- und unterhalb der x-Achse

18.01.2016, 20:05

Pirania

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Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals ober- und unterhalb der x-Achse

Hallo. Kann mir das bitte einer erklären was im Titel steht? Ich hatte gerade schonmal einen Post gemacht unter mir ;-) Leider ist der mislungen und kann ihn nicht löschen. Wie gesagt: Stammfunktion bilden kann ich. Normale Fläche kann ich auch berechnen wo der Bereich vorgegeben ist aber wenn ich erst Nullstellen berechnen muss weiss ich nicht genau wie ich vorgehen muss. Es wäre total cool wenn mir das noch jemand erklären würde, weil ich morgen einen Test schreibe :-).

18.01.2016, 20:33

Pirania

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[attach]40505[/attach]

Darum gehts.

18.01.2016, 20:52

Steffen Bühler

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Also sind die Nullstellen das Problem? Oder was genau?

Viele Grüße
Steffen

18.01.2016, 20:53

Pirania

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Ich weiß nicht wie ich anfangen soll und die Reihenfolge der Schritte. Kannst Du mir die Schritte aufschreiben?

18.01.2016, 21:06

Steffen Bühler

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Nehmen wir mal die Funktion x^3-x:

Wie berechnest Du die Nullstellen sonst? Die Funktion gleich Null setzen und nach x auflösen! Also auch hier.

Du bist dran.

18.01.2016, 21:16

Pirania

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Ich habe als Ergebnis raus $\begin{eqnarray*} x/4 \end{eqnarray*}$

Ich meine wenn ich aufgeschrieben habe $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-x [-1;1] \end{eqnarray*}$

Welcher schritt kommt dann?

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18.01.2016, 21:19

Steffen Bühler

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Das Ergebnis x/4 verstehe ich nicht.

Wie heißen die drei Nullstellen?

18.01.2016, 21:25

Pirania

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Ich weiss bei der Funktion nicht wie ich die Nullstellen berechne. Einfach auflösen dachte ich erst. Dann dachte ich x ausklammern. Aber weiss grad nicht wie ich das machen soll.

18.01.2016, 21:28

Steffen Bühler

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Genau, x ausklammern ist hier richtig!

$\begin{align*} x^3-x=x \cdot (x^2-1) \end{align*}$

Wann wird dieses Produkt Null?

18.01.2016, 21:34

Pirania

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Ah ok. Ich wusste nicht, dass x zu 1 wird wenn ich x ausklammere. ok dann ist x1 schonmal die erste nullstelle. Also $\begin{eqnarray*} x1=0 \end{eqnarray*}$ und dann
$\begin{eqnarray*} x^2-1|+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=1| Wurzel ziehen \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x3=-1 \end{eqnarray*}$

Also die 3 Nullstellen sind 0, 1 und -1. Das kann man ja auch auf dem Koordinatenkreuz sehen. In dem Test morgen muss ich das ohne machen.

Also nochmal dass ich das richtig verstenaden habe wenn ich die Funktion habe und den Bereich zum beispiel -1;1 fange ich mit der Berechnung der Nullstellen an oder? Das ist das erste was ich mache.

18.01.2016, 21:41

Steffen Bühler

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Perfekt, dann kannst Du es doch! Und der Rest ist Dir klar, sagst Du ja.

18.01.2016, 21:43

Pirania

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Nein, das ist ja das Problem. Das ist mir ja nicht klar Big Laugh

Big Laugh

.

18.01.2016, 21:45

Steffen Bühler

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Gut, dann weiter. Berechne zuerst die Fläche links.

Wie lauten Grenzen und Stammfunktion?

18.01.2016, 21:46

Pirania

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Also das wäre dann die Fläche -1 bis 0 ne? Woher weiß ich welche werte ich nehmen muss. Wenn a und b angegeben ist weiss ich das ich die umgekehrt einsetzen muss. erst a und dann b. aber jetzt habe ich ja 3 werte. Woher weiss ich welchen Wert ich wo einsetzen muss?

18.01.2016, 21:50

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Pirania
1. Nullstellen berechnen
2. ?

Zweitens die rechte Nullstelle in die Stammfunktion einsetzen.

Drittens die linke Nullstelle in die Stammfunktion einsetzen.

Viertens diese beiden Zahlen subtrahieren und den Betrag bilden.

18.01.2016, 21:50

Pirania

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Stammfunktion $\begin{eqnarray*} 1/4x^4-1/2x^2 \end{eqnarray*}$

18.01.2016, 21:54

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Pirania
jetzt habe ich ja 3 werte. Woher weiss ich welchen Wert ich wo einsetzen muss?

Ordne die Werte der Größe nach. Dann jedes der zwei Wertepaare als Integralgrenzen, wie oben.

Und wenn es vier oder noch mehr sind, genauso. Jedes Wertepaar begrenzt ja eine Teilfläche.

18.01.2016, 21:54

Pirania

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Viertens diese beiden Zahlen subtrahieren und den Betrag bilden. Das verstehe ich nicht.

18.01.2016, 21:56

Steffen Bühler

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Die Stammfunktion stimmt. Nun setz die beiden ersten Grenzen-1 und 0 ein. Welche zwei Zahlen ergibt das?

18.01.2016, 21:56

Pirania

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Pirania
jetzt habe ich ja 3 werte. Woher weiss ich welchen Wert ich wo einsetzen muss?

Ordne die Werte der Größe nach. Dann jedes der zwei Wertepaare als Integralgrenzen, wie oben.

Und wenn es vier oder noch mehr sind, genauso. Jedes Wertepaar begrenzt ja eine Teilfläche.

Dann muss ich doch -1 und 0 berechnen und danach 0 und 1 oder? Für 2 Flächen.

18.01.2016, 21:58

Pirania

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Die Stammfunktion stimmt. Nun setz die beiden ersten Grenzen-1 und 0 ein. Welche zwei Zahlen ergibt das?

Muss ich erst -1 einsetzen oder erst 0?

18.01.2016, 21:58

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Pirania
Dann muss ich doch -1 und 0 berechnen und danach 0 und 1 oder? Für 2 Flächen.

Richtig.

18.01.2016, 22:01

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Pirania

Muss ich erst -1 einsetzen oder erst 0?

Egal, denn wir nehmen nachher den Betrag der Differenz. Da ist die Reihenfolge wurscht: |a-b|=|b-a|

Ansonsten immer zuerst die höhere Zahl.

18.01.2016, 22:03

Pirania

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Ich habe $\begin{eqnarray*} -1/4 FE \end{eqnarray*}$ raus. Die Zahl ist ja negativ dann muss ich Betragsstriche setzen um die positiv zu machen oder?

18.01.2016, 22:06

Steffen Bühler

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Ja, oder einfach das Minuszeichen wegradieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Fläche stimmt. Sie sollte vor der Betragsbildung allerdings positiv sein, wir sind ja über der x-Achse. Für die Arbeit morgen dann doch sicherheitshalber zuerst die höhere Zahl, auch wenn es fürs Ergebnis egal ist.

Nun auf zur rechten Fläche.

18.01.2016, 22:09

Pirania

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ja, oder einfach das Minuszeichen wegradieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Fläche stimmt. Nun auf zur rechten.

Big Laugh

Haha ja, genau.

Ok, dann müsste da $\begin{eqnarray*} 1/4 FE \end{eqnarray*}$ rauskommen, weil die Rechnung davor mit 0 und -1 -1/4 ergab muss diese jetzt 1/4 sein. Richtig?

18.01.2016, 22:11

Steffen Bühler

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Ja, betragsmäßig. Ansonsten siehe mein Edit: ohne Betrag ist die negativ.

Gut, noch die Flächen addieren, das war's.

18.01.2016, 22:13

Pirania

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Ok. Also ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 2/4FE \end{eqnarray*}$ ?

18.01.2016, 22:16

Steffen Bühler

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Genau. Ich glaube, das Prinzip hast Du jetzt intus.

Viel Erfolg morgen und viele Grüße
Steffen

18.01.2016, 22:28

Pirania

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Ja. Echt ein dickes DANKE :-) Hast mir echt geholfen. Aber eins ist mir nicht so ganz klar. Wenn ich zB Nullstellen 3, 0 und 6 habe und die Flächen berechnen möchte muss ich ja immer [attach]40511[/attach] schreiben. Woher welche ich welche Zahl ich oben und welche unten hinschreibe?

19.01.2016, 08:34

klarsoweit

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Du berechnest immer die Integrale von einer Nullstelle zur nächst gelegenen größeren Nullstelle. Anschließend addierst du die Beträge der einzelnen Ergebnisse. Das ergibt dann die gesuchte Fläche. smile

smile

19.01.2016, 09:08

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Pirania
Woher welche ich welche Zahl ich oben und welche unten hinschreibe?

Grundsätzlich immer von links nach rechts. Die kleinere Zahl also unten, die größere oben.

22.01.2016, 22:33

Pirania

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Ok, Danke. Hab's verstanden :-)

Irgendwas stimmt bei der Rechung nicht. Kann mir bitte jemand sagen was an der Rechnung falsch ist? Betragsstriche habe ich vergessen. Also nicht wundern wenn das Ergebnis positiver angegeben ist.

[attach]40557[/attach]

23.01.2016, 10:32

moody_ds

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Auf der Vor Seite steht das Integral von 0 bis 3.
Du sagst die Nullstellen sind 0,3,6 was aber nicht zu der Funktion $\begin{eqnarray*} -x^2+1 \end{eqnarray*}$ gehört.
Und berechnen tust du von 1 bis 3, ich glaube da irgendwo liegt dein Fehler.

23.01.2016, 11:05

Pirania

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Hi. Danke für Deine Antwort. Aber es geht jetzt nur um diese Fläche. Die hat nichts mit dem vorherigem zutun. Das ist eine andere Aufgabe.

23.01.2016, 11:15

moody_ds

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Deine Stammfunktion ist falsch. 1 nach x integriert ist x (+C aber du integrierst ja bestimmt)

24.01.2016, 13:34

Pirania

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Warum ist die falsch? Ich sehe gerade dass es $\begin{eqnarray*} 54/6 \end{eqnarray*}$ sind und nicht $\begin{eqnarray*} 81/6 \end{eqnarray*}$ .

24.01.2016, 13:54

moody_ds

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Du hast

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_{}^{} \! -x^2 + 1 \, dx \end{eqnarray*}$

und daraus

$\begin{eqnarray*} F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \end{eqnarray*}$

gemacht.

Aber $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} F(x) = -x^2 + x \end{eqnarray*}$ mit deiner Funktion. Das stimmt ja nicht.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! 1 \, dx = x + C<br /> \end{eqnarray*}$

24.01.2016, 14:21

moody_ds

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Mit ein bisschen Phantasie ist das auch ein x und keine 1. Mit den 54/6 solltest du dann auf das richtige Ergbnis $\begin{eqnarray*} -4\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ kommen Wink

Wink

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